[复变函数]第20堂课 5.4 整函数与亚纯函数的概念

1. 整函数 (entire function)

(1) 定义: 若 $f$ 在 $\bbC$ 上解析, 则称 $f$ 为整函数.

(2) 性质: $\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n,\ 0\leq |z|<\infty}$.

(3) 例: $f(z)=e^z,\sin z,\cos z$.

(4) 分类 (按 $\infty$ 为 $f$ 的哪类奇点) $$\beex \bea \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的可去奇点}&\lra f\equiv \const,\\ \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的 }m\mbox{ 阶极点}&\lra f\mbox{ 是一个 }m\mbox{ 次多项式},\\ \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的本质奇点}&\lra \mbox{有无穷多个 }c_n\neq 0. \eea \eeex$$

(5) 单叶整函数的刻画: $$\bex f(z)=az+b,\quad (a\neq 0). \eex$$

2. 亚纯函数 (meromorphic function)

(1) 定义: 若 $f$ 在 $\bbC$ 上除极点外没有其他类型的奇点, 则称 $f$ 为亚纯函数.

(2) 分类: $\dps{\sedd{\ba{lll} \mbox{有理函数 }\cfrac{P(z)}{Q(z)}&\mbox{刻画:}&\mbox{在 }\bbC^*\mbox{上除极点外没有其他类型的奇点}\\ \mbox{ 超越整函数}&\mbox{例:}&\cfrac{1}{e^z-1} \ea}}$.

作业: P 213 T 4 (3) (4) .