求1000的阶乘结果尾部0的个数

该题目有多种方法来得到结果。

方法一：直接求出结果并计算尾数0的个数

该方法可以参考上一篇帖子（http://blog.csdn.net/yahohi/article/details/7528778），采用数组存储结果，然后计算尾数中0的个数。结果为249.

方法二：计算可分解5的个数

这种想法认为，1000！ = 1000*999*...*1，而5*2= 10，故只要将所有的从1到1000的数分解成（2,5）组合，就可以知道尾数0的个数。同时，很显然，2的个数比5的个数要多，因此只需要关注5的分解的个数。

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#include <iostream>   

#include <stdio.h>   

using namespace std;  

int main()  

{  

    long total;  

    long Integer;  

    long i;  

    scanf("%ld", &total);  

     long count = 0;  

     int flag = 0;  

    for (i = 5; i <= total; i++)  

    {  

        Integer = i;  

        flag = Integer % 5;  

        while(flag==0)  

        {  

            Integer = Integer / 5;  

            flag = Integer % 5;  

            count = count + 1;  

        }  

  

    }  

    printf("%ld\n", count);  

    return 0;  

}  

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#include <iostream>  

#include <stdio.h>  

using namespace std;  

int main()  

{  

    long total;  

    long Integer;  

    long i;  

    scanf("%ld", &total);  

     long count = 0;  

     int flag = 0;  

    for (i = 5; i <= total; i++)  

    {  

        Integer = i;  

        flag = Integer % 5;  

        while(flag==0)  

        {  

            Integer = Integer / 5;  

            flag = Integer % 5;  

            count = count + 1;  

        }  

  

    }  

    printf("%ld\n", count);  

    return 0;  

}  

方法三：通过分类统计计算

里面有： 
625   的倍数：1个 （625*16）
125的倍数：8-1   =   7 （去掉625）
25的倍数：40-8   =   32 （去掉上面的7+1）
5的倍数：200-40   =   160 （去掉上面的32+7+1）
共：   1*4+7*3+32*2+160=249个0

方法四：通用方法

    这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。 

    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有： 

      当0 < n < 5时，f(n!) = 0; 

      当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。 

  

    显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。 

  

    我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。 

  

    我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论： 

    结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。 

    下面对这个结论进行证明： 

    (1)当n < 5时, 结论显然成立。 

    (2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。 

    对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。 

    我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。 

     

    上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。 

  

    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有： 

       f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!) 

所以，最终的计算公式为： 

    当0 < n < 5时，f(n!) = 0; 

    当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。 

  

计算举例

   f(5!) = 1 + f(1!) = 1 

   f(10!) = 2 + f(2!) = 2 

   f(20!) = 4 + f(4!) = 4 

   f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24 

   f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249