《算法导论》笔记 第14章 14.1 动态顺序统计

【笔记】

一棵顺序统计量树T通过简单地在红黑树的每个结点存入附加信息而成。在一个结点x内，除了包含通常的红黑树的域key color p left right，还包括域size[x]。这个域中包含以结点x为根的子树的结点数（包括x本身），即子树的大小。如果定义哨兵为0，也就是设置size[nil]为0，则有等式 size[x]=size[left[x]]+size[right[x]]+1。

在出现相等关键字的情况下，定义排序为按中序遍历树时输出的结点位置，以此消除顺序统计树原定义的不确定性。

检索具有给定排序的元素：

过程OS-SELECT(x,i)返回一个指向以x为根的子树中包含第i小关键字的结点的指针。

NODE* osSelect(NODE* x, int i) {
int r = x->l->size + 1;
if (i == r) { return x; }
else if (i < r) { return osSelect(x->l,i); }
else { return osSelect(x->r,i-r); }
}

最坏情况下，OS-SELECT的总时间与树的高度成正比。所以对含n个元素的动态集合，运行时间为O(lgn)。

确定一个元素的秩：

给定指向一顺序统计树T中结点x的指针，过程OS-RANK返回对T进行中序遍历后得到的线性序中x的位置。

int osRank(NODE* x) {
int r = x->l->size + 1;
NODE *y = x;
while (y != root) {
if (y == y->p->r) { r += y->p->l->size + 1;}
y = y->p;
}
return r;
}

x的秩可以视为在对树的中序遍历中，排在x之前的结点个数再加上1。

运行时间与树的高度成正比：对含n个结点的顺序统计树时间为O(lgn)。

对子树规模的维护：

插入：第一阶段沿根下降，将新结点插入为某个已有结点的孩子。第二阶段沿树上升，做颜色修改和旋转保持性质。

第一阶段：对路径上的每个结点都要增加其size。

第二阶段：对旋转增加两行代码：

y->size = x->size;
x->size = x->l->size + x->r->size + 1;

删除：第一阶段对查找树进行操作。第二阶段至多三次旋转。

要删除结点y，遍历一条由y到根的路径，减少路径上每个结点的size。

#define COLOR int
#define BLACK 1
#define RED 0
using namespace std;

template <class T>
class RBTREE{
public:
struct NODE{
NODE *p,*l,*r;
T key;
COLOR c;
int size;
NODE() {}
}NIL;
NODE *nil, *root;
NODE* newNode(T k, COLOR cl = RED) {
NODE *p = new NODE;
p->c = cl;
p->p = nil;
p->l = nil;
p->r = nil;
p->key = k;
p->size = 1;
return p;
}
void deleteNode(NODE *p) {
delete p;
}
void init() {
nil = &NIL;
nil->c = BLACK;
nil->p = nil;
nil->l = nil;
nil->r = nil;
nil->size = 0;
root = nil;
}
RBTREE () { init(); }
/*********************************************/
void leftRotate(NODE *x) {
NODE *y = x->r;
x->r = y->l;
if (y->l != nil) { y->l->p = x; }
y->p = x->p;
if (x->p == nil) { root = y; }
else {
if (x == x->p->l) { x->p->l = y; }
else { x->p->r = y; }
}
y->l = x;
x->p = y;
y->size = x->size;
x->size = x->l->size + x->r->size + 1;
}
void rightRotate(NODE *x) {
NODE *y = x->l;
x->l = y->r;
if (y->r != nil) { y->r->p = x; }
y->p = x->p;
if (x->p == nil) { root = y; }
else {
if (x == x->p->l) { x->p->l = y; }
else { x->p->r = y; }
}
y->r = x;
x->p = y;
y->size = x->size;
x->size = x->l->size + x->r->size + 1;
}
/*********************************************/
void rbInsert(NODE *z) {
NODE *y = nil;
NODE *x = root;
while (x != nil) {
y = x;
y->size += 1;
if (z->key < x->key) { x = x->l; }
else { x = x->r; }
}
z->p = y;
if (y == nil) { root = z; }
else {
if (z->key < y->key) { y->l = z; }
else { y->r = z; }
}
z->l = nil;
z->r = nil;
z->c = RED;
rbInsertFixup(z);
}
void rbInsertFixup(NODE *z) {
NODE *y;
while (z->p->c == RED) {
if (z->p == z->p->p->l) {// z 的父亲是爷爷的左儿子
y = z->p->p->r;// z 的叔叔 y
if (y->c == RED) {// case 1：叔叔是红的
z->p->c = BLACK;// 将 z 的父亲与叔叔置为黑
y->c = BLACK;
z->p->p->c = RED;// 将 z 的爷爷置为红
z = z->p->p;// 问题上移两层
}
else {
if (z == z->p->r) {// case 2:z 是右儿子
z = z->p;
leftRotate(z);// 左旋，转为 case 3
}
z->p->c = BLACK;// case 3：z 是左儿子，对z的爷爷做一次右旋即可完成维护
z->p->p->c = RED;
rightRotate(z->p->p);
}
}
else if (z->p == z->p->p->r) {// z 的父亲是爷爷的右儿子
y = z->p->p->l;// z 的叔叔 y
if (y->c == RED) {// case 1：叔叔是红的
z->p->c = BLACK;// 将 z 的父亲与叔叔置为黑
y->c = BLACK;
z->p->p->c = RED;// 将 z 的爷爷置为红
z = z->p->p;// 问题上移两层
}
else {
if (z == z->p->l) {// case 2：z 是左儿子
z = z->p;
rightRotate(z);// 右旋，转为 case 3
}
z->p->c = BLACK;
z->p->p->c = RED;
leftRotate(z->p->p);
}
}
}
root->c = BLACK;
}
/*********************************************/
NODE* treeMinimum(NODE *rt) {
while (rt->l!=nil) rt=rt->l;
return rt;
}
NODE* treeMaximum(NODE *rt) {
while (rt->r!=nil) rt=rt->r;
return rt;
}
NODE* treeSuccessor(NODE *rt) {
if (rt->r!=nil) return treeMinimum(rt->r);
NODE* pt=rt->p;
while (pt!=nil && rt==pt->r) {
rt=pt;
pt=pt->p;
}
return pt;
}
NODE* treePredecessor(NODE *rt) {
if (rt->l!=nil) return treeMaximum(rt->l);
NODE* pt=rt->p;
while (pt!=nil && rt==pt->l) {
rt=pt;
pt=pt->p;
}
return pt;
}
/*********************************************/
NODE* rbDelete(NODE *z) {
NODE *y, *x, *t;
t = z;
while (t != root) {
t = t->p;
t->size -= 1;
}
if (z->l == nil || z->r == nil) { y = z; }
else { y = treeSuccessor(z); }
if (y->l != nil) { x = y->l; }
else { x = y->r; }
x->p = y->p;
if (y->p == nil) { root = x; }
else {
if (y == y->p->l) { y->p->l = x; }
else { y->p->r = x; }
}
if (y != z) {
z->key = y->key;
// copy y's satellite data into z
}
if (y->c == BLACK) { rbDeleteFixup(x); }
return y;
}
void rbDeleteFixup(NODE *x) {
NODE *w;
while (x != root && x->c == BLACK) {
if (x == x->p->l) {// x 为左儿子
w = x->p->r;// w 是 x 的兄弟
if (w->c == RED) {// case 1：w 为红色，必有黑色儿子
w->c = BLACK;
x->p->c = RED;
leftRotate(x->p);
w = x->p->r;// x 的新兄弟必为黑色
}
if (w->l->c == BLACK && w->r->c == BLACK) {// case 2：x 的兄弟 w 是黑色的，w 的两个儿子都是黑色
w->c = RED;// 去掉一重黑色
x = x->p;// 以 x 父亲重复 while 循环
}
else {
if (w->r->c == BLACK) {// case 3：x 的兄弟 w 是黑色的，w 的左儿子是红色的，右儿子是黑色
w->l->c = BLACK;// 交换 w 与左儿子的颜色
w->c = RED;
rightRotate(w);// w 右旋
w = x->p->r;// 新兄弟是一个有红色右孩子的黑结点
}
w->c = x->p->c;// case 4：x 的兄弟 w 是黑色的，而且 w 的右儿子是红色的
x->p->c = BLACK;
w->r->c = BLACK;
leftRotate(x->p);
x = root;
}
}
else if (x == x->p->r) {// x 为右儿子
w = x->p->l;// w 是 x 的兄弟
if (w->c == RED) {// case 1：w 为红色，必有黑色儿子
w->c = BLACK;
x->p->c = RED;
rightRotate(x->p);
w = x->p->l;// x 的新兄弟必为黑色
}
if (w->l->c == BLACK && w->r->c == BLACK) {// case 2：x 的兄弟 w 是黑色的，w 的两个儿子都是黑色
w->c = RED;// 去掉一重黑色
x = x->p;// 以 x 父亲重复 while 循环
}
else {
if (w->l->c == BLACK) {// case 3：x 的兄弟 w 是黑色的，w 的右儿子是红色的，左儿子是黑色
w->r->c = BLACK;// 交换 w 与右儿子的颜色
w->c = RED;
leftRotate(w);// w 左旋
w = x->p->l;// 新兄弟是一个有红色左孩子的黑结点
}
w->c = x->p->c;// case 4：x 的兄弟 w 是黑色的，而且 w 的左儿子是红色的
x->p->c = BLACK;
w->l->c = BLACK;
rightRotate(x->p);
x = root;
}
}
}
x->c = BLACK;
}
/*********************************************/
NODE* treeSearch(NODE *rt,T k) {
if (rt==nil || k==rt->key) return rt;
if (k<rt->key) return treeSearch(rt->l,k);
else return treeSearch(rt->r,k);
}
void remove(T key) {
NODE *p = treeSearch(root,key);
if (p != nil) p = rbDelete(p);
deleteNode(p);
}
/*********************************************/
void insert(T key) {
rbInsert(newNode(key));
}
void showAll(NODE *p) {
if (p != nil) {
std::cout << "key = " << p->key << ", color = " << p->c << ", size = " << p->size << std::endl;
std::cout << "LEFT:" << std::endl;
showAll(p->l);
std::cout << "RIGHT:" << std::endl;
showAll(p->r);
std::cout << "END." << std::endl;
}
//else { std::cout << " NIL " << endl; }
}
/*********************************************
数据结构的扩张
*********************************************/
NODE* osSelect(NODE* x, int i) {
int r = x->l->size + 1;
if (i == r) { return x; }
else if (i < r) { return osSelect(x->l,i); }
else { return osSelect(x->r,i-r); }
}
int osRank(NODE* x) {
int r = x->l->size + 1;
NODE *y = x;
while (y != root) {
if (y == y->p->r) { r += y->p->l->size + 1;}
y = y->p;
}
return r;
}
};

【练习】