三分法问题个人总结&MS_活动中心问题

看了一下微软2014编程之美大赛的初赛第一阶段的题目，其中最后一道题，看完之后一点思路都没有，同学说穷举肯定超时，经高手指点，最终方法应该是：

　　使用三分法求解凹（凸）函数的极值问题，所以做了两道三分法求极值的问题练手，现总结如下。

　　注：本文所总结内容还借鉴了博主:rabia在博客http://blog.csdn.net/rabia/article/details/7826144中所描述的内容：

　　二分法作为分治中最常见的方法，在各种比赛中经常出现（如：POJ 1434），但只适用于单调函数，若遇到凸（凹）函数求解极值，可采取三分的方法求解。凸（凹）函数在高数中的定义是：若函数的二阶导数在区间上恒大于0，则该函数在区间为凸函数；反之，小于0为凹函数。在比赛中面对一个问题而推出的求解函数f，求解其二阶导数不是那么容易。为了提高出题效率，可以根据题目所求做出大胆的假设：即若求最大值，则可假设函数为凸的；若求最小值，则可假设函数为凹的（当然求最短路等图论问题除外），具体的三分方法如图：

　　




核心程序段（求解凸函数）如下：

while(r-l>esp){

double mid=(l+r)/2.0;

double midmid=(mid+r)/2.0;

if(f(mid)-f(midmid)>esp)r=midmid;

else l=mid;

}

求解极小值则只需要换成if(f(midmid)-f(mid)>esp)即可
比较不错的题目有：

PKU3301 HDU2438
ZJU3203 Ural1874
LightOJ1146、1240 CodeForces185B
下面是微软编程之美大赛第一阶段初赛第三体“活动中心”和本人的"含水"代码：

时间限制:12000ms
单点时限:6000ms
内存限制:256MB

描述

A市是一个高度规划的城市，但是科技高端发达的地方，居民们也不能忘记运动和锻炼，因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心，方便居住在A市的居民们能随时开展运动，锻炼强健的身心。
城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件：
1. 到所有居住地的总距离最小。
2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护，活动中心必须建设在A市的主干道上。

为了简化问题，我们将A市摆在二维平面上，城市的主干道看作直角坐标系平的X轴，城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。
现在，A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。

输入

第一行包括一个数T，表示数据的组数。
接下来包含T组数据，每组数据的第一行包括一个整数N，表示A市共有N处居住地
接下来N行表示每处居住地的坐标。

输出

对于每组数据，输出一行“Case X: Y”，其中X表示每组数据的编号(从1开始)，Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上，任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10-6以内的结果都将被视为正确。

数据范围

小数据：1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10
大数据：1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 105
对于所有数据，坐标值都是整数且绝对值都不超过106

样例解释

样例1：活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)

样例输入

1
3
1 1
2 2
3 3

样例输出

Case 1: 1.678787

// MS_ActivityCenter.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int t;//the number of test cases
const int max_x=1000000;
const int min_x=-1000000;

double calculateSumDis(int n,double x);

struct pos
{
int x;
int y;
pos(int x,int y)
{
x=x;
y=y;
};
pos()
{
x=0;
y=0;
}
};

pos positions[100000];

int main()
{
cin>>t;
int currentCase=1;
while (t>0)
{
int n;//n positions
double right,left;
double mid;

cin>>n;
right=min_x;
left=max_x;

for (int i=0;i<n;i++)
{
cin>>positions[i].x;
cin>>positions[i].y;
if (positions[i].x>right)
{
right=positions[i].x;
}
if (positions[i].x<left)
{
left=positions[i].x;
}
}

do
{
mid=(right+left)/2.0;
double midmid=(mid+right)/2.0;

double sumDismid=calculateSumDis(n,mid);
double sumDismidmid=calculateSumDis(n,midmid);

if (sumDismid>sumDismidmid)
{
left=mid;
}
else
{
right=midmid;
}
} while (right-left>0.0000001);

cout<<"Case "<<currentCase<<": "<<setprecision(7)<<mid<<endl;

currentCase++;
t--;
}
return 0;
}

double calculateSumDis(int n,double x)
{
double sumDismid=0;
for (int j=0;j<n;j++)
{
double powX=pow((positions[j].x-x),2);
double powY=pow((double)positions[j].y,2);
sumDismid+=sqrt(powX+powY);
}
return sumDismid;
}