[复变函数]第19堂课 5.3 解析函数在无穷远处的性质

1. 函数 $f$ 在 $\infty$ 没有定义, 所以 $\infty$ 必为 $f$ 的奇点. 若 $$\bex \exists\ r>0,\ st. f\mbox{ 在 }|z|>r\mbox{ 内解析}, \eex$$ 则称 $\infty$ 为 $f$ 的孤立奇点.

(1) 例: $f(z)=z$, $f(z)=\cfrac{1}{e^z-1}$.

(2) 作变换 $\zeta=\cfrac{1}{z}$, 并记 $$\bex \phi(\zeta)=f\sex{\cfrac{1}{\zeta}}=f(z), \eex$$ 则 $0$ 为 $\phi$ 的孤立奇点: $$\bex \phi'(\zeta)=f'\sex{\cfrac{1}{\zeta}}\cdot \cfrac{-1}{\zeta^2},\quad \zeta\neq 0. \eex$$

(3) $$\beex \ba{lll} \mbox{ 若:}&0&\mbox{ 为 }\phi\mbox{ 的可去奇点、}m\mbox{ 阶极点、本质奇点},\\ \mbox{ 则称:}&\infty&\mbox{ 为 }\phi\mbox{ 的可去奇点、}m\mbox{ 阶极点、本质奇点}. \ea \eeex$$

2. 三类奇点的刻画

(1) 设 $\infty$ 为 $f$ 的孤立奇点, 则 $$\beex \ba{rllllll} &&\mbox{主要部分}&&&&\mbox{正则部分}\\ f(z)=f\sex{\cfrac{1}{\zeta}} =\phi(\zeta)&=&\dps{\sum_{n=-\infty}^{-1}c_n\zeta^n}&+& \underline{c_0}&+& \underline{\dps{\sum_{n=1\infty}c_n\zeta^n}},\quad |\zeta|<\cfrac{1}{r},\\ f(z)&=&\underline{\dps{\sum_{n=1}^\infty c_{-n}z^n}}&+&\underline{c_0} &+&\dps{\sum_{n=-\infty}^{-1} c_{-n}z^n},\quad |z|>r. \ea \eeex$$

(2) 可去奇点 $$\bex \ba{ccccc} f\mbox{ 在 }\infty\mbox{ 的一个去心邻域内有界}&\lra&\infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的可去奇点}&\lra&f\mbox{ 的主要部分为 }0\\ &&\Updownarrow&&\\ &&\lim_{z\to \infty}f(z)\mbox{ 存在}&& \ea \eex$$ 例: $f(z)=\cfrac{1}{z}$, $f(z)=\cfrac{1}{(z-1)(z-2)}$.

(3) 极点 $$\bex \ba{ccccc} &&\lim_{z\to \infty}f(z)=\infty &&\\ &&\Updownarrow&&\\ g(z)=\cfrac{1}{f(z)}\mbox{ 以 }\infty \mbox{ 为 }m\mbox{ 阶零点} &\lra& f\mbox{ 以 }a\mbox{ 为 }m\mbox{ 阶极点}&\lra& f\mbox{ 的主要部分为 }0\\ &&\Updownarrow&&\\ &&f(z)=z^m\mu(z),\ \mu(\infty)\neq 0&& \ea \eex$$ 例: $f(z)=\cfrac{z^2}{z-1}$.

(4) 本质奇点 $$\bex \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的本质奇点}\lra \lim_{z\to \infty}f(z)\mbox{ 不存在}. \eex$$ 例: $f(z)=e^z$.

3. 例

(1) 考察 $f(z)=\cfrac{\tan(z-1)}{z-1}$ 的奇点及其类型.

(2) 考察 $f(z)=\cfrac{1}{\sin z+\cos z}$ 的奇点及其类型.

(3) 考察 $f(z)=\cos\cfrac{1}{z+i}$ 的奇点及其类型.

作业: P 213-214 T 4 (1) (7) (8) .