Bellman-Ford算法
2014-04-21 21:12
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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(Lester Ford)发明。Bellman-Ford算法的流程如下:
给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,
数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant
为, Distant[s]为0;
以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;
为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant
中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
伪代码如下:
补充:
考虑:为什么要循环V-1次?
答:因为最短路径肯定是个简单路径,不可能包含回路的,
如果包含回路,且回路的权值和为正的,那么去掉这个回路,可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的,那么肯定没有解了
图有n个点,又不能有回路
所以最短路径最多n-1边
又因为每次循环,至少relax一边
所以最多n-1次就行了
以下是C++代码:
给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,
数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant
为, Distant[s]为0;
以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;
为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant
中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).
Bellman-Ford算法可以大致分为三个部分
第一,初始化所有点。每一个点保存一个值,表示从原点到达这个点的距离,将原点的值设为0,其它的点的值设为无穷大(表示不可达)。
第二,进行循环,循环下标为从1到n-1(n等于图中点的个数)。在循环内部,遍历所有的边,进行松弛计算。
第三,遍历途中所有的边(edge(u,v)),判断是否存在这样情况:
d(v) > d (u) + w(u,v)
则返回false,表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
之所以需要第三部分的原因,是因为,如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
伪代码如下:
BELLMAN-FORD(G, w, s) 1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s) 2 for i ← 1 to |V[G]| - 1 3 do for each edge (u, v) ∈ E[G] 4 do RELAX(u, v, w) 5 for each edge (u, v) ∈ E[G] 6 do if d[v] > d[u] + w(u, v) 7 then return FALSE 8 return TRUE
补充:
考虑:为什么要循环V-1次?
答:因为最短路径肯定是个简单路径,不可能包含回路的,
如果包含回路,且回路的权值和为正的,那么去掉这个回路,可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的,那么肯定没有解了
图有n个点,又不能有回路
所以最短路径最多n-1边
又因为每次循环,至少relax一边
所以最多n-1次就行了
以下是C++代码:
#include <iostream> using namespace std; const int maxnum = 100; const int maxint = 99999; // 边, typedef struct Edge{ int u, v; // 起点,重点 int weight; // 边的权值 }Edge; Edge edge[maxnum]; // 保存边的值 int dist[maxnum]; // 结点到源点最小距离 int nodenum, edgenum, source; // 结点数,边数,源点 // 初始化图 void init() { // 输入结点数,边数,源点 cin >> nodenum >> edgenum >> source; for(int i=1; i<=nodenum; ++i) dist[i] = maxint; dist[source] = 0; for(int i=1; i<=edgenum; ++i) { cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight; if(edge[i].u == source) //注意这里设置初始情况 dist[edge[i].v] = edge[i].weight; } } // 松弛计算 void relax(int u, int v, int weight) { if(dist[v] > dist[u] + weight) dist[v] = dist[u] + weight; } bool Bellman_Ford() { for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i) for(int j=1; j<=edgenum; ++j) relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight); bool flag = 1; // 判断是否有负环路 for(int i=1; i<=edgenum; ++i) if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight) { flag = 0; break; } return flag; } int main() { //freopen("input3.txt", "r", stdin); init(); if(Bellman_Ford()) for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++) cout << dist[i] << endl; return 0; }
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