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2014编程之美初赛第二场

2014-04-21 00:47 169 查看

题目1 :神奇的数列

时间限制:2000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

大神同学是一个热爱数字的孩子,她无时无刻不在思考生活与数学的联系。有一天,她发现其实公历的设计是有讲究的。

每4年就会多闰一天,每一百年又会有一年不是闰年,而第四百年又是闰年。这样,这四百年的周期里每一年平均有365又400分之97天。

大神同学将上面的规律简记为100-4+1=97。

大神同学想知道是不是每一个自然数都能按照上面的形式表示出来,具体来说就是,大神同学希望将一个自然数N写成A1 - A2 + A3 - A4 + …的形式,其中

A1是A2的倍数,A2是A3的倍数,依此类推。另外,大神同学不想让这个问题变得太无聊,她还增加了一些附加条件:

1. 其中Ai ≠ Aj (i ≠ j),即相邻的两个数前一个至少是后一个的两倍或以上。

2. 数列的长度至少为3,不能超过100(大神同学觉得数列太长一定可以找到答案)。

3. 构造出来的数列中的每一个数不能太大,因此大神同学希望数列中的每一个数都是小于263的正整数。

大神同学思考了一会儿,发现这个问题似乎没有那么简单,现在她求助于你,希望你能帮她解决这个不太简单的问题。

输入

第一行包括一个数T,表示数据的组数。

接下来包含T组数据,每组数据一行,包括一个整数N。

输出

对于每组数据,输出一行“Case X: ”,其中X表示每组数据的编号(从1开始),后接一个字符串“no solution”表示无解,或者输出一列数{Ai},相邻两个数之间用空格隔开。如果有多组数列满足要求,输出任意一组。

数据范围

小数据:

1 ≤ T ≤ 10

1 ≤ N ≤ 100

大数据:

1 ≤ T ≤ 1000

1 ≤ N ≤ 1018

样例输入

2

1

97

样例输出

Case 1: no solution

Case 2: 100 4 1

题解:不擅长的题目,只想着打表找规律,后来没再找.(lqy提供)构造题,n<=2的时候,no solution;其他情况只要2*(n - 1), n - 1, 1

题目2 :字符串压缩

时间限制:8000ms

单点时限:4000ms

内存限制:256MB

描述

你的硬盘上有一个神秘的文件占用了大量空间,你决定将其压缩以节省空间。不幸的是,你还没有安装任何压缩软件,所以你决定自己编写一个压缩程序。你发现这是一个文本文件,包括很多行。每行是一个长度恰好为L的字符串,而且字符串可能有重复。行的顺序并不重要,换言之,打乱顺序之后仍然可以认为文件内容和原来相同。

例如,这个文件的内容可以是这样的:

bar

car

bat

cat

cat

经过一段时间观察,你发现同一列的字符往往是相同的,于是你设计了一个简单的压缩框架。首先以某种策略调整行的顺序,然后把所有字符串按照先列后行的顺序变换成单个字符串,例如上面的例子,不调整顺序则直接变换成:

bcbccaaaaarrttt

然后使用游程编码(RLE)的到压缩变换后的字符串:

1b1c1b2c5a2r3t

当然也可以先调换顺序:

car

cat

cat

bat

bar

这样的压缩字符串为:

3c2b5a1r3t1r

比不调整顺序的稍短一些。

现在,你已经得到了两个不同的压缩字符串,你想知道他们解压后的文件是否相同,请写一个程序解决这个问题。

输入

第一行是一个整数T (T <= 30),表示测试数据组数。

每组测试数据占三行。第一行为整数L,表示原始文件中每一行字符串的长度。第二行和第三行分别是两个压缩字符串,格式如c1 n1 c2 n2 … cMnM,表示字符ci连续出现了ni次。具体格式见样例。输入字符串只含a到z的小写字母,确保压缩字符串合法有效,且不为空。

输出

对每组测试数据,首先输出”Case x: ”,其中x表示测试数据编号。如果两个压缩字符串对应于相同的文件内容,则输出”Yes”,否则输出”No”。

数据范围

小数据:1<=L<=10, 1<=ni<=100,压缩字符串长度不超过10^4

大数据:1<=L<=1000, 1<=ni<=10^9,压缩字符串长度不超过10^6

样例输入

2

3

1b1c1b2c5a2r3t

3c2b5a1r3t1r

2

20a20b10a20b10a

20a20b20a20b

样例输出

Case 1: Yes

Case 2: No

再想想吧

题目3 :集合

时间限制:12000ms

单点时限:6000ms

内存限制:256MB

描述

统计满足下列条件的集合对(A, B)的数量:

· A,B都是{1, 2, …, N}的子集;

· A,B没有公共的元素;

· f(A)<= f(B)。f(S)定义为S中所有元素的按位异或和。例如, f({}) = 0, f({1, 3}) = 2。

因为答案可能很大,你只需要求出它除以M的余数。

输入

第一行一个整数T (1 ≤ T ≤ 10),表示数据组数。

接下来是T组输入数据,测试数据之间没有空行。

每组数据格式如下:

仅一行,2个整数N和M (1 ≤ M ≤ 108)。

输出

对每组数据,先输出“Case x: ”,然后接一个整数,表示所求的结果。

数据范围

小数据:1 ≤ N ≤ 20

大数据:1 ≤ N < 212

样例输入

1

3 100000000


样例输出

Case 1: 18

题解:(1)看到n的数据范围,很容易联想到状态dp,只想到O(n^3)的做法,
dp[i][a_sum][b_sum],表示前i个数a集合的异或和为a_sum,b集合的异或和为b_sum的pair数;
转移方程(讨论把i放到哪个集合)
dp[i][a_sum^i][b_sum] = dp[i - 1][a_sum^i][b_sum] + dp[i - 1][a_sum][b_sum];
dp[i][a_sum][b_sum^i] = dp[i - 1][a_sum][b_sum^i] + dp[i - 1][a_sum][b_sum];
详见代码中的test2
(2)赛后与lqy讨论加看大神简捷的聊天,终于领悟出来了,O(n^2)
其实不需要分别记录a集合和b集合的异或和,只需要记录两集合的异或和,因为对于前i-1个数的一个pair<a,b>,
把i放到任意一个集合(a或者b)都可以产生一个合法的pair,所以只需要记录两集合的异或和.
由于f(a)=f(b)需要算两个pair(<a,b>和<b,a>),需要特殊处理.详见代码中的test1


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

void test1()
{
ll dp[110][110];
int n;
n = 30;
dp[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 0; j <= n; j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j];

for(int j = 0; j <= n; j++)
{
int k = i ^ j;
ll tmp;
if(j)   tmp = 2 * dp[i - 1][j];
else    tmp = 2 * dp[i - 1][j] - 1;//a、b都为空集

dp[i][k] += tmp;
}

ll ans = 2 * dp[i][0] - 1;//处理f(a)=f(b),a、b都为空集
for(int j = 1; j <= n; j++)
ans += dp[i][j];
printf("%lld\n", ans);
}
}

void test2()
{
ll dp[100][100][100];
int n;
n = 30;
dp[0][0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 0; j <= n; j++)
for(int k = 0; k <= n; k++)
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];

for(int j = 0; j <= n; j++)
for(int k = 0; k <= n; k++)
{
dp[i][j^i][k] += dp[i - 1][j][k];
dp[i][j][k^i] += dp[i - 1][j][k];
}

ll ans = 0;
for(int j = 0; j <= n; j++)
for(int k = 0; k <= j; k++)
ans += dp[i][j][k];
printf("%lld\n", ans);
}
}
int main()
{
test1();
test2();
return 0;
}


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