NOIP2007 树网的核
2014-04-20 20:35
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原题描述
【问题描述】
设 T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边带有正整数的权,我们称 T 为树网,其中V, E 分别表示结点与边的集合,W表示各边长度的集合,并设 T 有 n 个结点。
路径:树网中任何两结点 a,b 都存在唯一的一条简单路径,用 d(a,b)表示以a,b 为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称 d(a,b)为 a,b 两结点间的距离。
一点 v 到一条路径 P 的距离为该点与P上的最近的结点的距离:d(v,P) = min{d(v,u),u 为路径 P 上的结点}。
树网的直径:树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网 T,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的, 我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC(F):树网 T 中距路径F最远的结点到路径F的距离,即ECC(F) = max{d(v, F), v∈V}。
任务:对于给定的树网 T=(V, E,W)和非负整数s,求一个路径 F,它是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过 s(可以等于 s),使偏心距 ECC(F)最小。我们称这个路径为树网 T=(V,E,W)的核(Core)。必要时,F 可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了树网的一个实例。 图中,A-B 与 A-C 是两条直径,长度均为 20。点 W 是树网的中心,EF 边的长度为 5。如果指定 s=11,则树网的核为路径 DEFG(也可以取为路径 DEF),偏心距为 8。如果指定 s=0(或 s=1、s=2),则树网的核为结点 F,偏心距为 12。
【输入】
输入文件 core.in 包含 n 行:
第 1 行,两个正整数 n 和 s,中间用一个空格隔开。其中 n 为树网结点的个数,s 为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为 1, 2, ..., n。
第 2 行到第 n 行, 每行给出 3 个用空格隔开的正整数, 依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“2 4 7”表示连接结点 2 与 4 的边的长度为 7。
所给的数据都是正确的,不必检验。
【输出】
输出文件 core.out 只有一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。
【输入样例1】
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
【输出样例1】
5
【输入样例2】
8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
【输出样例2】
5
我的题解
这一题首先一定要理解题意,注意求偏心距的路径为直径上的点,而直径又不止一条。如果单纯地模拟,用n^2来模拟每一条在直径上的路径,再用n^2分别来模拟其他的每一个点和该路径上的每一个点的距离(要用Floyd预处理),时间复杂度会达到O(n^4),超时了,且还有一件麻烦事就是判断一个点在不在该路径上,该算法是不可取的。
于是我想到了分治法。对于一条路径[a, b],如何求他的偏心距 F 呢?我用一重循环枚举每一个在该路径上的点c、将其分成两条小路径[a, c]和[c, b]并分别求出他们的偏心距和每个点到这两条路径上的距离,那么F=min{d(v, P(a, c)), d(v, P(c, b)) | v∈V, v不属于P(a, b)}。
还有,需要先做一些预处理。用Floyd求出每两对点之间的距离以及边数(有利于后面判断一个点在不在某条路径上),以及用直径长判断某一条路径P(a, b)是不是直径。每当确定一条直径后,就可以用上述的方法递归求解偏心距了。
下面给出代码:
【问题描述】
设 T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图(也称为无根树),每条边带有正整数的权,我们称 T 为树网,其中V, E 分别表示结点与边的集合,W表示各边长度的集合,并设 T 有 n 个结点。
路径:树网中任何两结点 a,b 都存在唯一的一条简单路径,用 d(a,b)表示以a,b 为端点的路径的长度,它是该路径上各边长度之和。我们称 d(a,b)为 a,b 两结点间的距离。
一点 v 到一条路径 P 的距离为该点与P上的最近的结点的距离:d(v,P) = min{d(v,u),u 为路径 P 上的结点}。
树网的直径:树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网 T,直径不一定是唯一的,但可以证明:各直径的中点(不一定恰好是某个结点,可能在某条边的内部)是唯一的, 我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC(F):树网 T 中距路径F最远的结点到路径F的距离,即ECC(F) = max{d(v, F), v∈V}。
任务:对于给定的树网 T=(V, E,W)和非负整数s,求一个路径 F,它是某直径上的一段路径(该路径两端均为树网中的结点),其长度不超过 s(可以等于 s),使偏心距 ECC(F)最小。我们称这个路径为树网 T=(V,E,W)的核(Core)。必要时,F 可以退化为某个结点。一般来说,在上述定义下,核不一定只有一个,但最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了树网的一个实例。 图中,A-B 与 A-C 是两条直径,长度均为 20。点 W 是树网的中心,EF 边的长度为 5。如果指定 s=11,则树网的核为路径 DEFG(也可以取为路径 DEF),偏心距为 8。如果指定 s=0(或 s=1、s=2),则树网的核为结点 F,偏心距为 12。
【输入】
输入文件 core.in 包含 n 行:
第 1 行,两个正整数 n 和 s,中间用一个空格隔开。其中 n 为树网结点的个数,s 为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为 1, 2, ..., n。
第 2 行到第 n 行, 每行给出 3 个用空格隔开的正整数, 依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如,“2 4 7”表示连接结点 2 与 4 的边的长度为 7。
所给的数据都是正确的,不必检验。
【输出】
输出文件 core.out 只有一个非负整数,为指定意义下的最小偏心距。
【输入样例1】
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
【输出样例1】
5
【输入样例2】
8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
【输出样例2】
5
我的题解
这一题首先一定要理解题意,注意求偏心距的路径为直径上的点,而直径又不止一条。如果单纯地模拟,用n^2来模拟每一条在直径上的路径,再用n^2分别来模拟其他的每一个点和该路径上的每一个点的距离(要用Floyd预处理),时间复杂度会达到O(n^4),超时了,且还有一件麻烦事就是判断一个点在不在该路径上,该算法是不可取的。
于是我想到了分治法。对于一条路径[a, b],如何求他的偏心距 F 呢?我用一重循环枚举每一个在该路径上的点c、将其分成两条小路径[a, c]和[c, b]并分别求出他们的偏心距和每个点到这两条路径上的距离,那么F=min{d(v, P(a, c)), d(v, P(c, b)) | v∈V, v不属于P(a, b)}。
还有,需要先做一些预处理。用Floyd求出每两对点之间的距离以及边数(有利于后面判断一个点在不在某条路径上),以及用直径长判断某一条路径P(a, b)是不是直径。每当确定一条直径后,就可以用上述的方法递归求解偏心距了。
下面给出代码:
program core; const INF=16843009;//"无限大" var n,s,i,j,k,ans,u,v,c,d:longint; dis:array[1..300,1..300] of longint; //任意两点间距离 disP:array[1..300,1..300,1..300] of integer; //任意一点到某路径的距离 step:array[1..300,1..300] of integer; //任意两点间边数 have:array[1..300,1..300,1..300] of boolean; //标识一个点是否在某条路径上 over:array[1..300,1..300] of boolean; //标识某条路径是否计算过了 procedure Solve(a,b:integer); //计算每个点到P(a,b)的距离 //把在P(a,b)上的每个点打上标记have[a,b,v]:=true //得出ECC[a,b] var k,i,o:integer; begin //记忆化处理以免重复计算 over[a,b]:=true; over[b,a]:=true; o:=0; //情况一:(a,b)是一个点 if a=b then begin have[a,b,a]:=true; for i:=1 to n do if i<>a then begin disP[i,a,b]:=a; if dis[i,a]>o then o:=dis[i,a]; end; if (dis[a,b]<=s) and (o<ans) then ans:=o; exit; end; //情况二:(a,b)是一条边 if step[a,b]=1 then begin if not(over[a,a]) then Solve(a,a); if not(over[b,b]) then Solve(b,b); have[a,b,a]:=true; have[b,a,a]:=true; have[a,b,b]:=true; have[b,a,b]:=true; for i:=1 to n do if not(have[a,b,i]) then begin if dis[i,a]<dis[i,b] then disP[i,a,b]:=a else disP[i,a,b]:=b; disP[i,b,a]:=disP[i,a,b]; if dis[i,disP[i,a,b]]>o then o:=dis[i,disP[i,a,b]]; end; if (dis[a,b]<=s) and (o<ans) then ans:=o; exit; end; //情况三:(a,b)是一条有一条以上的边的路径 //枚举点c分割该路径 for i:=1 to n do begin if (i<>a) and (i<>b) and (step[a,i]+step[i,b]=step[a,b]) then begin if not(over[a,i]) then Solve(a,i); if not(over[i,b]) then Solve(i,b); k:=i;//获得一个任意的分割点 end; end; if dis[a,b]<=s then begin //枚举求解偏心距 for i:=1 to n do begin have[a,b,i]:=(have[a,k,i] or have[k,b,i]); if not(have[a,b,i]) then //确认点i在该路径上 begin if dis[i,disP[i,a,k]]<dis[i,disP[i,k,b]] then disP[i,a,b]:=disP[i,a,k] else disP[i,a,b]:=disP[i,k,b]; disP[i,b,a]:=disP[i,a,b]; if dis[i,disP[i,a,b]]>o then o:=dis[i,disP[i,a,b]]; end; end; if o<ans then ans:=o; end; end; begin readln(n,s); fillchar(dis,sizeof(dis),1); for i:=1 to n-1 do begin readln(u,v,c); dis[u,v]:=c; dis[v,u]:=c; dis[i,i]:=0; step[u,v]:=1; step[v,u]:=1; end; //Floyd求出每两对点之间的距离以及边数 for k:=1 to n do for i:=1 to n do if k<>i then for j:=1 to n do if (k<>j) and (i<>j) then if dis[i,k]+dis[k,j]<dis[i,j] then begin dis[i,j]:=dis[i,k]+dis[k,j]; step[i,j]:=step[i,k]+step[k,j]; if dis[i,j]>d then d:=dis[i,j]; end; ans:=INF; //枚举直径计算出结果 for i:=1 to n do for j:=1 to n do if dis[i,j]=d then begin if not(over[i,j]) then Solve(i,j); end; writeln(ans); end.
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