【APIO2010】特别行动队
2014-04-19 23:28
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【APIO2010】特别行动队
【题目描述】
你有一支由n名预备役士兵组成的部队,士兵从1到n编号,要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑,同一支特别行动队中队员的编号应该连续,即为形如(i, i + 1, …, i + k)的序列。
编号为i的士兵的初始战斗力为xi ,一支特别行动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和,即x = xi + xi+1 + … + xi+k。
通过长期的观察,你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为x':x' = ax2 + bx + c,其中a, b, c是已知的系数(a < 0)。
作为部队统帅,现在你要为这支部队进行编队,使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。
例如,你有4名士兵,x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4。经验公式中的参数为a = –1, b = 10, c = –20。此时,最佳方案是将士兵组成3个特别行动队:第一队包含士兵1和士兵2,第二队包含士兵3,第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4, 3, 4,修正后的战斗力分别为4, 1, 4。修正后的战斗力和为9,没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。
【输入】
输入由三行组成。第一行包含一个整数n,表示士兵的总数。第二行包含三个整数a, b, c,经验公式中各项的系数。第三行包含n个用空格分隔的整数x1, x2, …, xn,分别表示编号为1, 2, …, n的士兵的初始战斗力。
【输出】
输出一个整数,表示所有特别行动队修正后战斗力之和的最大值。
【输入样例】
4
-1 10 -20
2 2 3 4
【输出样例】
9
【数据范围】
20%的数据中,n ≤ 1000;
50%的数据中,n ≤ 10,000;
100%的数据中,1 ≤ n ≤ 1,000,000,–5 ≤ a ≤ –1,|b| ≤ 10,000,000,|c| ≤ 10,000,000,1 ≤ xi ≤ 100。
【题解】
考察优化的动规题目,朴素方程很好写的,f[i]=max(f[j]+a*t^2+b*t+c),t=Σxk(k∈[j+1,i]),其中f[i]表示前i个士兵编排后的战斗力最大值。Σxk用前缀和处理,即Σxk=s[i]-s[j],s[i]表示1~i号士兵的战斗力之和。
明显的1D1D动态规划,所以接下来考虑斜率优化,按照斜率规划一般式化简原方程:
f[i]=max(f[j]+a*s[j]^2-b*s[j]-2a*s[i]*s[j])+a*s[i]^2+b*s[i]+c
化简后,把原式分为三部分:f[j]+a*s[j]^2-b*s[j],只与j有关,作为方程的y;-2a*s[i]*s[j],与i,j都有关,那么把-2a*s[j]作为x,s[i]作为k,明显都是单调的;a*s[i]^2+b*s[i]+c,只与i有关,作为常数考虑。维护一个单调队列,每次考虑队首是否最优,然后用队首转移i,考虑队尾是否满足单调性,最后把i加入队列。
【代码】
斜率优化的概念和模式熟悉后,代码短时间快O(∩_∩)O
【APIO2010】特别行动队#代码
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