[物理学与PDEs]第5章第5节 弹性动力学方程组及其数学结构

5.5.1 线性弹性动力学方程组

1. 线性弹性动力学方程组 $$\beex \bea 0&=\rho_0\cfrac{\p{\bf v}}{\p t}-\Div_x{\bf P}-\rho_0{\bf b}\\ &=\rho_0\cfrac{\p}{\p t}\sex{\cfrac{\p{\bf u}}{\p t}} -\Div_x({\bf A}{\bf E})-\rho_0{\bf b}\quad\sex{{\bf u}={\bf y}-{\bf x}}\\ &=\rho_0\cfrac{\p^2{\bf u}}{\p t^2}-\Div_x({\bf A}{\bf E})-\rho_0{\bf b}, \eea \eeex$$ 其分量形式为 $$\bee\label{5_5_1:el} \bea \rho_0\cfrac{\p ^2u}{\p t^2} &=\cfrac{1}{2}\sum_{j,k,l}\cfrac{\p}{\p x_j} \sez{a_{ijkl}\sex{\cfrac{\p u_k}{\p x_l}+\cfrac{\p u_l}{\p x_k}}} +\rho_0b_i\\ &=\cfrac{1}{2}\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\sez{\cfrac{\p ^2u_k}{\p x_j\p x_l} +\cfrac{\p^2u_l}{\p x_j\p x_k}}+\rho_0b_i\\ &=\sum_{j,k,l}a_{ijkl}\cfrac{\p^2u_k}{\p x_j\p x_l}+\rho_0b_i. \eea \eee$$

2. 四阶张量 ${\bf A}=(a_{ijkl})$ 满足强椭圆性条件, 是指 $$\bex \exists\ \alpha>0,\st \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l\geq \alpha |{\bf \xi}|^2|{\bf\eta}|^2,\quad\forall\ {\bf \xi},{\bf\eta}\in \bbR^3. \eex$$ 若 ${\bf A}$ 满足强椭圆性条件, 则称 \eqref{5_5_1:el} 为二阶双曲型方程组.

3. 对各向同性材料, ${\bf A}$ 满足强椭圆性条件 $\lra$ $$\bex \mu>0,\quad \lm+2\mu>0. \eex$$

4. Cauchy 问题、初边值问题的提法 (给定边界上的位移 ${\bf u}$ 或应力向量 $({\bf P}{\bf n})_i=\sum_{jkl}a_{ijkl}\cfrac{\p u_k}{\p x_l}n_j$).

5. 各向同性材料时的线性弹性动力学方程组 $$\bex \sedd{\ba{rl} \cfrac{\p^2{\bf u}}{\p t^2}=\mu\lap{\bf u}+(\lm+\mu)\n\Div{\bf u},\\ {\bf u}(0) ={\bf u}^0,\cfrac{\p {\bf u}}{\p t}(0) ={\bf u}^1. \ea} \eex$$

(1) 将 ${\bf u}$ 分解为 $$\bee\label{5_5_1_Div_Curl} {\bf u}={\bf v}+{\bf w},\quad \rot{\bf v}={\bf 0},\quad \Div{\bf w}=0. \eee$$ 则 ${\bf v},{\bf w}$ 分别满足 $$\beex \bea \sedd{\ba{rl} \cfrac{\p^2{\bf v}}{\p t^2}=a_1^2\lap{\bf v},\\ {\bf v}(0) ={\bf u}^0_L,\quad \cfrac{\p {\bf v}}{\p t}(0) ={\bf u}^1_L; \ea},&\quad\sedd{\ba{rl} \cfrac{\p ^2{\bf w}}{\p t^2}=a_2^2\lap{\bf w},\\ {\bf w}(0) ={\bf u}^0_T,\quad\cfrac{\p {\bf w}}{\p t}(0) ={\bf u}^1_T. \ea} \eea \eeex$$ 其中 $a_1^2=\lm+2\mu,\ a_2^2=\mu$. 由于 \eqref{5_5_1_Div_Curl} 分解的整体依赖性 (而非点依赖性), ${\bf u}(t,{\bf x})$ 依赖于 $$\bex \sed{{\bf y};\ a_2t\leq |{\bf y}-{\bf x}|\leq a_1t}. \eex$$

(2) $\sex{\cfrac{\p ^2}{\p t^2}-a_1^2\lap}\sex{ \cfrac{\p ^2}{\p t^2}-a_2^2\lap }{\bf u}={\bf 0}$.

6. 稳定性条件 $$\bex \exists\ \tilde\alpha>0,\st \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl} e_{ij}e_{kl}\geq \tilde \alpha |{\bf E}|^2, \eex$$ 对 $\forall$ 对称矩阵 ${\bf E}=(e_{ij})$ 成立.

(1) 稳定性条件 $\ra$ 强椭圆性条件 (只要取 $e_{ij}=\cfrac{1}{2}\sex{\xi_i\eta_j+\xi_j\eta_i}$). 反之不然.

(2) 对各向同性材料, 稳定性条件 $\lra$ $$\bex \mu>0,\quad \kappa=\lm+\cfrac{2}{3}\mu>0. \eex$$

5.5.2 非线性弹性动力学方程组

1. ${\bf P}({\bf x})=\hat {\bf P}({\bf F}({\bf x}))=\det{\bf F}\cdot \hat {\bf T}({\bf F})\cdot {\bf F}^{-T}$ 代入动量守恒方程有 $$\bex \rho_0\cfrac{\p^2u_i}{\p t^2} =\sum_{j,k,l}a_{ijkl}(\n{\bf u})\cfrac{\p u_k}{\p x_j\p x_l} +\rho_0b_i, \eex$$ 其中 $$\bex a_{ijkl}({\bf F})=\cfrac{\p p_{ij}}{\p f_{kl}}. \eex$$

2. 强椭圆性条件: $$\bex \sum_{i,j,k,l}a_{ijkl}\xi_i\xi_k\eta_j\eta_l>0,\quad\forall\ {\bf F},\ \forall\ {\bf \xi},{\bf\eta}\in {\bf R}^3\bs\sed{{\bf 0}}. \eex$$

5.5.3 非线性弹性动力学方程组的一阶守恒律形式

$$\bee\label{5_5_3_ne} \bea \cfrac{\p f_{kl}}{\p t}-\cfrac{\p v_k}{\p x_l}&=0,\\ \rho_0\cfrac{\p v_i}{\p t}-\sum_j\cfrac{\p}{\p x_j}p_{ij}({\bf F})-\rho_0b_i&=0. \eea \eee$$

1. \eqref{5_5_3_ne} 可化为守恒律形式的一阶拟线性方程组.

2. 若材料是超弹性的, ${\bf A}=(a_{ijkl})$ 满足强椭圆性条件, 则 \eqref{5_5_3_ne} 为双曲型的.

3. 在解的间断面上应满足熵不等式 $$\bex \cfrac{\p }{\p t}\eta(U)+\sum_j\cfrac{\p}{\p x_j}q_j(U)\leq 0, \eex$$ 其中 $$\bex \eta=\cfrac{1}{2}|{\bf v}|^2+\hat W({\bf F}),\quad q_j=-\sum_jp_{ij}v_i. \eex$$

5.5.4 化弹性动力学方程组为一阶对称双曲组

1. 当 $\lm+2\mu>\mu>0$ 时, 变形在自然状态附近的各向同性材料的非线性弹性动力学方程组可化为一阶对称双曲组; 也可通过构造一附加守恒律的方法化为具守恒律的一阶对称双曲组.

2. 对一般的非线性超弹性动力学方程组, 如果贮能函数是严格多凸的, 则也可化为具守恒律的一阶对称双曲组.

5.5.5 一维非线性弹性动力学方程组

1. 各向同性材料的纯轴向变形 $$\bex \rho_0\cfrac{\p^2u_1}{\p t^2}=\cfrac{\p}{\p x_1}t_{11}\sex{\cfrac{\p u_1}{\p x_1}}+\rho_0b_1. \eex$$ 这是一维拟线性波动方程.

2. 各向同性材料的纯剪切变形 $$\bex \rho_0\cfrac{\p^2u_1}{\p t}=\cfrac{\p}{\p x_2}t_{12}\sex{\cfrac{\p u_1}{\p x_2}}+\rho_0b_1. \eex$$ 这也是一维拟线性波动方程.