动态规划之编辑距离：用最少的字符操作将A变换成B

一、问题描述

                设A和B是两个字符串，长度分别为n,m要用最少的字符操作（包括字符的插入、删除、修改）,这样的操作称为字符串A到B的操作距离，记为d(A,B)。

二、思路分析

                把求解编辑距离分为字符串A从0个字符逐渐增加到全部字符分别要变成字符串B该如何变化的问题。具体来说就是，首先选用str1来存储字符串A，str2来存储字符串B，distance矩阵来进行具体的运算。考虑到最简单的情况，str1的长度为0，str2长度不为0;str1长度不为0，str2长度为0，对前一种情况的编辑距离就是m，后一种则是n。为什么？因为str1为0的时候要么对str1进行添加，即添加m位的str2，要么对str2进行m个删除操作；str2为0的时候，要么对str1进行n个删除操作，要么对str2进行n个添加操作。接下来我们着重考虑一般情况，distance矩阵为
[m]，假定我们从distance[0][0]开始一直操作到了distance[i][j]位置，其中删除操作肯定是str1比str2长，插入操作str1比str2短，我们所要做的是对distance[i-1][j]
、distance[i][j-1]、distance[i-1][j-1]存的数进行比较，其中最小的就是当前str1和str2的编辑距离。

三、实现过程

               这里，我们把矩阵抽象出来，

distance矩阵

	abc	a	b	c
abe	0	1	2	3
a	1	A处0	D1	G 2
b	2	B处1	E0	H  1
e	3	C处2	F1	I  1

               在A处，由于两个a相同，左上角为0，为左上角的0+0；B处，左边加1后得到3，上边加1后为1，二者不相等，这时要为左上角加1，得到2，取三者中的最小值，为1,以下内容类推，最终结果为I的值。
四、代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 100

//求三者中的最小值
int minval(int a,int b,int c){
int zhi=min(a,b);
int minvalue=min(zhi,c);
return minvalue;
}

//求二者中的最小值
int min(int a,int b){
return(a>b?b:a);
}
//编辑距离函数，str1 str2为操作的字符串
void editDistance(char *str1,char *str2){
int lenthofstr1=strlen(str1);
int lenthofstr2=strlen(str2);
int distance[MAX][MAX];
//变量用来遍历、初始化字符串
int i,j;

for(i=0;i<lenthofstr1;i++){
distance[i][0]=i;
}
for(i=0;i<lenthofstr2;i++){
distance[0][i]=i;
}

for(i=1;i<lenthofstr1;i++){
for(j=1;j<lenthofstr2;j++){
//如果对应的字符相等，原问题交给子问题处理，即不用任何操作
                        if(str1[i]==str2[j]){
distance[i][j]=distance[i-1][j-1];
}
else{
//否则的话，对左、右、左上角的值进行求最小值
distance[i][j]=minval(distance[i-1][j]+1,distance[i][j-1]+1,distance[i-1][j-1]+1);
}
cout<<distance[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"最少的操作次数是："<<distance[lenthofstr1-1][lenthofstr2-1];

}

int main(){
char str1[]={"abc"};
char str2[]={"dabc"};
editDistance(str1,str2);
return 0;

}
五、结果显示