空汽水瓶问题之数学归纳法

描述：

有这样一道智力题：“某商店规定：三个空汽水瓶可以换一瓶汽水。小张手上有十个空汽水瓶，她最多可以换多少瓶汽水喝？”答案是5瓶，方法如下：先用9个空瓶子换3瓶汽水，喝掉3瓶满的，喝完以后4个空瓶子，用3个再换一瓶，喝掉这瓶满的，这时候剩2个空瓶子。然后你让老板先借给你一瓶汽水，喝掉这瓶满的，喝完以后用3个空瓶子换一瓶满的还给老板。如果小张手上有n个空汽水瓶，最多可以换多少瓶汽水喝？

我不想讨论编程方法和代码，只简单的演示一下数学归纳法的用法。

结论：他最多可以换floor(n/2)瓶汽水喝。

证明：

为了证明方便我们扩展一下结论的叙述：他最多可以换floor(n/2)瓶汽水喝，并最后剩余(n mod 2)个空瓶。

当n=1时，该结论显然正确。

假设：当n=k时，该结论正确。

当n=k+1时，分两种情况讨论：

1、k为偶数，(k mod 2)等于0，即最后剩余1个空瓶，无法获得更多的汽水，因此仍只能获得floor(k/2)瓶汽水。而floor((k+1)/2)等于floor(k/2)，(k+1 mod 2)等于1。

2、k为奇数，(k mod 2)等于1，即使用完前k个空瓶瓶后还剩余2个空瓶，因此可以再获得一瓶汽水喝，并最后剩余0个空瓶。而此时，floor((k+1)/2)等于floor(k/2)+1，(k+1 mod 2)等于0。

归纳得结论对于n=1,2,3...都成立。