Jesephus problem ( 小议约瑟夫家的问题 )

    问题描述：编号为1~n共n只猴子坐成一圈想要选大王，大家约定从1开始报数数到n的猴子退出，剩下的猴子继续从1开始报数，直到剩下最后一只猴子时，它就被选为大王。

    有一种常规的解决思路：模拟选大王的过程。用一个长度为n数组作为标志数组，将每次退出猴子对应编号上标记为FALSE，继续报数，遇到标记为false的元素跳过继续，直到数组中只剩一个标记为true的数组，其就是大王。时间复杂度O(mn)。

    为了感性认识，请大家考虑一种极端情况，如果n为100只，最后只剩下2只标记为true的猴子，我们为了得到大王，本只需在2只猴子间进行报数，谁最先报出m，则淘汰。但是程序的做法却需要将100个猴子扫描m-1次进行m-1计数，直到报出m。是不是很复杂？

    为了得到大王，我们得拿出我们数学这把利剑，采用递推方式，只需要时间复杂度为O（n）就能解决问题。下面细细道来

   
递推方法：递推，顾名思义从猴子少的时候推到猴子多的时候，找其中的规律。因为习惯我们把编号设成0~n-1,对于上面问题求解时，我们再将编号加一就是了。以下取m=3进行说明。

   f(i):表示当猴子数量为i时，猴王的编号。例如：f(1)=0，当只有一只猴子时，其编号为0，它肯定就是猴王了。f(2)=1,两只猴子从编号为0开始报数，报数为3的猴子退出，很明显猴王编号为1。下面给出猴子依次变化时，猴王变化情况：

    


    发现规律了f(i)=(f(i-1)+m)%i.对这就是我们需要的。那么要求猴子总数为n的时候，已知初始值f(1)=0，又有了递推公式，是不是很简单了。

    再拓展下，我们能不能得到n只猴子依次出队的序列呢，如果这个知道，那儿我们就可以很容易算出编号为i的猴子是第几次出队的，是吧？

    咱们继续找规律吧。f(i)下面对应了一列数，从下往上，表示当猴子总数为i时，依次出队的先后顺序。

    



    
   是不是发现了？每个标蓝色的数字其对应的一行数字之间仍然是满足(f(j)+m)%i【采用(j)只是为了与猴王的f(i）避免冲突】,但是我们不知道递归的初始值啊，即：蓝色数字怎么求呢？有以下两个方案：

   1）对于f(i)序列中共有0,1··i-1个数，我们如果已经知道除了蓝色数以外的数字，通过搜索排除就能知道蓝色数

   2）针对每个f（i）序列和我们能算出，用其减去已递推了的数，就能知道蓝色数了

   时间复杂度为O(n*n).

   代码已传到CSDN，希望大家多多批评指正。