最大权二分匹配—KM算法入门 && 模板

初学KM算法，以下为搜寻了一下午，找到的比较通俗易懂的讲解（来源于网络）：

       最大权二分匹配问题就是给二分图的每条边一个权值，选择若干不相交的边，得到的总权值最大。解决这个问题可以用KM算法。

       理解KM算法需要首先理解“可行顶标”的概念。可行顶标是指关于二分图两边的每个点的一个值lx[i]或ly[j]，保证对于每条边w[i][j]都有lx[i]+ly[j]-w[i][j]>=0。如果所有满足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的边组成的导出子图中存在一个完美匹配，那么这个完美匹配肯定就是原图中的最大权匹配。理由很简单：这个匹配的权值之和恰等于所有顶标的和，由于上面的那个不等式，另外的任何匹配方案的权值和都不会大于所有顶标的和。

       但问题是，对于当前的顶标的导出子图并不一定存在完美匹配。这时，可以用某种方法对顶标进行调整。调整的方法是：根据最后一次不成功的寻找交错路的DFS，取所有i被访问到而j没被访问到的边(i,j)的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值d。将交错树中的所有左端点的顶标减小d，右端点的顶标增加d。经过这样的调整以后：原本在导出子图里面的边，两边的顶标都变了，不等式的等号仍然成立，仍然在导出子图里面；原本不在导出子图里面的边，它的左端点的顶标减小了，右端点的顶标没有变，而且由于d的定义，不等式仍然成立，所以他就可能进入了导出子图里。

       初始时随便指定一个可行顶标，比如说lx[i]=max{ w[i][j] | j是右边的点 }，ly[i]=0。然后对每个顶点进行类似Hungary算法的find过程，如果某次find没有成功，则按照这次find访问到的点对可行顶标进行上述调整。这样就可以逐步找到完美匹配了。

       值得注意的一点是，按照上述d的定义去求d的话需要O(N^2)的时间，因为d需要被求O(N^2)次，这就成了算法的瓶颈。可以这样优化：设slack[j]表示右边的点j的所有不在导出子图的边对应的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值，在find过程中，若某条边不在导出子图中就用它对相应的slack值进行更新。然后求d只要用O(N)的时间找到slack中的最小值就可以了。

       如果是求最小权匹配，只需要把那个不等式反一下就行了。算法需要作出的改变是：lx的初值为所有临界边中的最小值，find中t反号。

代码模板：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define M 50
#define INF 0x7fffffff

int n;
int w[M][M]; // 保存权值
int lx[M], ly[M]; // 可行顶标
int pre[M], slack[M]; // 父节点、保存修改量
bool visx[M], visy[M];

int DFS(int x)
{
visx[x] = 1;
for(int y = 1; y <= n; y ++){
if(visy[y])
continue;

int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
if(t == 0){ // 说明是相等子图
visy[y] = 1;
if(pre[y] == -1 || DFS(pre[y])){
pre[y] = x;
return 1; // 找到增广轨
}
}
else if(slack[y] > t){ // 不在相等子图中slack 取最小的
slack[y] = t;
}
}

return 0; // 没有找到增广轨（说明顶点x没有对应的匹配，与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符）
}

int KM()
{
int i, j;
memset (pre, -1, sizeof(pre));
memset (ly, 0, sizeof(ly));
for(i = 1; i <= n; i ++){ // lx初始化为与它关联边中最大的
for(j = 1, lx[i] = -INF; j <= n; j ++){
if(w[i][j] > lx[i])
lx[i] = w[i][j];
}
}

for(int x = 1; x <= n; x ++){
for(i = 1; i <= n; i ++){ // slack 初始化
slack[i] = INF;
}

while(1){
memset (visx, 0, sizeof(visx)); // vis 初始化
memset (visy, 0, sizeof(visy));

if (DFS(x)){ // 若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广
break; // 若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的顶标，使得图中可行边的数量增加。
} // 方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，
// 所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d
int d = INF;
for(i = 1; i <= n; i ++){
if(!visy[i] && d > slack[i])
d = slack[i];
}

for(i = 1; i <= n; i ++){
if(visx[i])
lx[i] -= d;
}

for(i = 1; i <= n; i ++){ // 修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d
if(visy[i])
ly[i] += d;
else
slack[i] -= d;
}
}
}

int res = 0;
for(i = 1; i <= n; i ++){
if(pre[i] > -1)
res += w[pre[i]][i];
}

return res;
}

int main ()
{
while(scanf("%d", &n) != EOF){
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 1; j <= n; j ++){
scanf("%d", &w[i][j]);
}
}

int ans = KM();
printf("%d\n", ans);
}

return 0;
}