[复变函数]第17堂课 5 解析函数的 Laurent 展式与孤立奇点 5. 1 解析函数的 Laurent 展式

0. 引言

(1) $f$ 在 $|z|<R$ 内解析 $\dps{\ra f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ (Taylor 级数).

(2) $f$ 在 $r<|z|<R\ (0\leq r<R\leq\infty)$ 内解析 $\dps{\ra f(z)=?}$ (Laurent 级数).

1. 双边幂级数

(1) 定义 $$\bee\label{15_bs} \bea &\quad c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots\quad(n\to+\infty)\\ &\quad+\cfrac{c_{-1}}{z}+\cfrac{c_{-2}}{z^2}+\cdots\quad(n\to-\infty)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_nz^n \eea \eee$$

(2) 收敛域 (不包括边界) - 圆环 $H:r<|z|<R$.

(3) $\dps{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_nz^n}$ 在 $H$ 内绝对、内闭一致收敛; 而和函数 $f(z)$ 在 $H$ 内解析, 可逐项求导, 逐项积分.

2. 解析函数的 Laurent 展式

(1) Laurent 定理: 设 $f$ 在 $H:\ r<|z-a|<R$ ($0\leq r<R\leq\infty$) 内解析, 则 $$\bee\label{15_Lau} f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n, \eee$$ 其中 $$\bee\label{15_Lau_Coef} c_n=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho}\cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\rd \zeta\quad(n\in\bbZ,\ r<\rho<R). \eee$$

a. \eqref{15_Lau} (右端) 称为 $f$ 在 $a$ 处的 Laurent 展式 (Laurent 级数), \eqref{15_Lau_Coef} 称为其 Laurent 系数.

b. 证明: $$\beex \bea f(z)&=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa_2}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta -\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa_1}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta\\ &\quad\sex{\vGa_i:\ |\zeta-a|=\rho_i,\ r<\rho_1<|z-a|<\rho_2<R}\\ &\equiv I_1-I_2;\\ I_1&=\cdots\cdots,\\ I_2&=\cdots\cdots. \eea \eeex$$

c. 例: 分别在 (i) $|z|<1$, (ii) $1<|z|<2$, (iii) $|z|>2$; (iv) $0<|z-1|<1$, (v) $1<|z-1|<\infty$; (vi) $0<|z-2|<1$, (vii) $1<|z-2|<\infty$ 内求 $f(z)=\cfrac{1}{(z-1)(z-2)^2}$ 的 Laurent 级数.

3. 解析函数的孤立奇点

(1) 定义: 设 $f$ 在 $a$ 处不可微, 但在 $a$ 的一个去心邻域内可微, 则称 $a$ 为 $f$ 的孤立奇点.

(2) $f$ 在孤立奇点的去心邻域内可展成 Laurent 级数.

(3) 例: $\dps{\cfrac{\sin z}{z},\ e^z+e^\frac{1}{z},\ \sin\cfrac{z}{z-1}}$.

作业: P 213 T 1 (1) .