POJ 2234 Matches Game（尼姆博弈）

题目大意：

有N堆石头，两个人轮流取石头，每次只能取一堆中的石头，至少取一个，最多全部全部取完。问先取的人是否能够获胜。

解题思路：

（一）这是一道博弈论Nim Game的题目，我们先从简单情况开始分析，再逐步深入。
（1）只有一堆，先手赢

（2）两堆，一共2根火柴，后手赢              （取完一堆即可）
  两堆，一共3根火柴，先手赢               （1+2格局，在2个的一堆中取1个，转化为前一种情形）
  两堆，一堆2个，另一堆2个，后手赢 （取完一堆，或者取1个都必输）
  两堆，一堆1个，另一堆3个，先手赢 （1+3格局，在3个的一堆中取2个，转化为2根的情形）

          ...   
  两堆，堆中火柴数目相等，后手赢
  两堆，堆中火柴数目不等，先手赢  

（3）三堆，一共3根火柴，先手赢 
  三堆，一共4根火柴，先手赢
  三堆，一共5根火柴，1.1.3型先手赢   （因为总能够转化到两堆相等的情况）
  三堆，一共5根火柴，2.2.1型先手赢   （因为总能够转化到两堆相等的情况）
  三堆，一共6根火柴，2.2.2型先手赢 
  三堆，一共6根火柴，1.1.4型先手赢
  三堆，一共6根火柴，1.2.3型后手赢 
通过简单的分析发现规律并不易寻找，并不是简单的奇偶关系（我就错误地推出过奇偶胜负关系）

（二）我们开始深入一点
    我们发现在两堆时，我们找到一个有趣的规律，那就是如果两堆数目相等，那么后手方赢，如果两堆数目不等，先手方赢（思考一下为什么？）。但三堆的时候貌似又行不通了，因为如最简单的1+1+1格局，显然是各堆数目相等，但应该是先手方赢。但我们马上会发现，对于三堆的情形，如果各堆数目相等，一定是先手方赢（想清楚为什么？）。进一步推广，我们可以得到如下结论：
堆为奇数个，各堆中火柴数目相等，一定是先手方赢
堆为偶数个，各堆中火柴数目相等，一定是后手方赢
（三）我们开始处理最棘手的部分
我们现在能够处理，所有堆中火柴都相等的时候的情形，但各堆中火柴不相等呢？这里我们再次看到数学中一些不可思议的联系。我们现在重新审视和定义这个游戏的胜负
（1）如果轮到某人取火柴的时候，火柴已经没有了，那么此人输，设为P-格局
（2）如果轮到某人取火柴的时候，他能够取完火柴，那么此人赢，设为N-格局
（3）如果轮到某人取火柴的时候，他能够将当前格局转化为某个P格局，那么此格局为N-格局
（4）如果轮到某人取火柴的时候，他不能将当前格局转化为某个P格局，那么此格局为P-格局
下面我们来推导一个定理：一个格局记为（x1,x2,...,xn)，且次序无关，此格局为 P-格局 当且仅当 x1^x2^...^xn = 0.其中^是按位异或运算
推导：  对应上述4种情形（为了叙述的简洁，并不十分严谨地证明，而是直接假设结论正确，再说明定理的工作机制）
            （1）当（x1,x2,...,xn)中全为0时            ，格局为P-格局，此时x1 ^ x2 ^ ... ^ xn = 0成立。
            （2）当（x1,x2,...,xn)中只有一个不为0，格局为N-格局，此时x1 ^ x2 ^ ... ^ xn = 0不成立。
            （3）当（x1,x2,...,xn)是P-格局时，x1,...,xn不全为0.（反证法）
                                          假设x1 ^ x2 ^ ... ^ xn = p,且p不为0,
                                          记 p 的二进制表示中，最左的1（最高位的1）在从左至右数第 k 位.
                                          由于p是异或运算的结果，那么 x1, x2 , ... , xn中至少有一个数第k位为1,
                                          不妨设 xi 的第 k 位为1，那么 xi ^ p 第 k 位为0，那么xi > xi^p 显然成立.
                                          也就是说，存在某种取法，使i堆的火柴数变化到 xi^p .
                                          题设x1 ^ x2 ^ ... ^ xn = p，那么x1 ^ x2 ^ ... ^ xn ^ p = 0.
                                          那么当前格局可以转化到某个P-格局，也就是说当前格局时N-格局，矛盾
                                          所以，必有p=0.
                (4)当x1 ^ x2 ^ ... ^ xn = 0时，如果存在某个移动 xi 变化到 xi ’ ，且x1^x2^....^xi ' ^...^xn = 0，
                     那么由异或运算的消去律有，xi = xi ' ，也就是说一根火柴都没取，这不允许的，所以
                     当前格局只能是P格局
有了这个强大的定理那么上题就很好解决了：

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>

int main(){
int num[25],m;
while(~scanf("%d",&m)){
int ans=0;
for(int i=0;i<m;i++){
scanf("%d",&num[i]);
ans=ans^num[i];
}
if(ans==0) printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
return 0;
}