[复变函数]第16堂课 4.4 解析函数零点的孤立性及惟一性定理

1. 零点及其重数

(1) 定义: 设 $f$ 在 $D$ 内解析, $a\in D$. 若 $f(a)=0$, 则称 $a$ 为 $f$ 的零点. 若再 $$\bex f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(m-1)}(a)=0,\ f^{(m)}(a)\neq 0, \eex$$ 则称 $a$ 为 $f$ 的 $m$ 阶零点. 特别地, 当 $m=1$ 时, $a$ 称为 $f$ 的单零点.

(2) 等价条件 - 因式分解: $$\bex a\mbox{ 是 }f\mbox{ 的}m\mbox{ 阶零点}\lra f(z)=(z-a)^m\phi(z),\quad\phi(a)\neq 0. \eex$$

证明: $\ra$: Taylor 展式. $\la$: 由 $\phi$ 解析知 $$\bex f(z)=(z-a)^m\sez{\phi(a)+\phi'(a)(z-a)+\cdots}. \eex$$ 据 Taylor 展式的唯一性知 $$\bex f(a)=\cfrac{f'(a)}{1!}=\cdots=\cfrac{f^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}=0,\quad \cfrac{f^{(m)}(a)}{m!}=\phi(a)\neq 0. \eex$$

(3) 例: $z=0$ 是 $x-\sin z$ 的____阶零点; 求 $\sin z-1$ 的全部零点及其重数.

2. 解析函数零点的特性

(1) 孤立性: 设 $a$ 为 $f$ 的零点, 则 $\exists\ U(a),\st f(z)\neq 0,\ z\in U(a)\bs \sed{0}$.

(2) 惟一性定理: 若 $f$ 有一串零点 $a\neq a_n\to a$, 则 $f\equiv 0$.

(3) 惟一性定理: 若 $f_1,f_2$ 在一列 $a\neq a_n\to a$ 上相等, 则 $f_1\equiv f_2$.

(4) 惟一性定理: 若 $f_1,f_2$ 在某一弧段上相等, 则 $f_1\equiv f_2$.

(5) 惟一性定理: 实数域上的恒等式在复数域上仍然成立, 只要等式两端均解析.

(6) 唯一性定理: 若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 解析, 则 $f(z)=u(z,0)+iv(z,0)$.

3. 最大模原理

(1) 设 $f$ 在 $D$ 内解析, 且不为常数, 则 $|f|$ 在 $D$ 内不能达到最大值.

(2) 设 $f$ 在有界区域 $D$ 内解析且不为常数, 在 $\bar D$ 上连续, 且 $|f(z)|\leq M, z\in\bar D$, 则 $|f(z)|<M,\ z\in D$.

作业: P 175 T 8.