线段树（1）：点修改 （uva 1400 Ray，Pass me the Dishes）
2014-04-12 21:50
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给出一个有n个元素的数组A1，A2，.........,，An，线段树是一个支持以下两种操作的数据结构：
Uadate（x，v）：吧Ax修改为v.
Query （L，R）：指定区间内特征的查找.
所有RMQ与树状数组能解决的问题线段树都能解决，线段数结构如下图：
假设根节点是一个长度为2的h次方的区间，第i层就有2的i次方个节点，每个节点对应一个长度为2的(h-i)次方的区间。最大层编号为h，总结点个数为2的（h+1）次方减1。
在不同题目中，线段可以有不同的含义，如数轴上的一条线段，或序列中的连续子序列，但是最重要的还是线段上附加的信息以及对附加值的维护，这些信息可以是区间的最小值或最大值，区间内数值的和等等。
如何实现Uadate（x，v）与 Query （L，R）呢？
给出以下代码：
寻找区间【ql，qr】中的最小值：
int ql,qr;
int query(int o,int L,int R){
int M=L+(R-L)/2,ans=INF;
if (ql<=L&&R<=qr) return minv[o];
if (ql<=M) ans=min(ans,query(o*2,L,M));
if (M<qr) ans=min(ans,query(o*2+1,M+1,R));
return ans;
}
修改A【p】=v;
int p,v;
int update(int o,int L,int R){
int M=L+(R-L)/2;
if (L==R) minv[o]=v;
else {
if (p<=M) update(o*2,L,M);
else update(o*2+1,M+1,R);
minv[o]=min(minv[o*2],minv[o*2+1]);
}
return 0;
}
其实说实话，我觉得线段数没有什么固定的模板，因为对于不同的题目，所需要维护的信息各不相同，性质也各不相同，导致的结果就是我们维护区间的方法，查询的方法也就各不相同。
但是基本思想还是一样的，改变的只是维护方法与查询方法。
uva 1400 动态最大连续和（Ray，Pass me the Dishes） （很恶心的一道题，做了好久各种bug）
构造一颗线段树，维护3个值，最大连续和max_s，最大前缀和max_f,最大后缀和max_l.。
max_s（a,b）代表a<=x<=y<=b且D（x）+........+D(y)最大的二元组（x,y）；max_f代表的是a<=x<=b且D(a)+D(a+1)+.......D(x)最大的整数x， max_l代表的是a<=x<=b且D(x)+....D(b)最大的整数x。
比如，n=8，询问区间（3,5），（3,5）被线段树分成了（3,4），（5,5）。
对于max_s 有3种情况：
起点与终点都在(3,4)中，max_s（3,5）=max_s（3,4）；
起点与终点都在(5,5)中，max_s（3,5）=max_s（5,5）；
起点在(3,4)，终点在(5,5)，max_s(3,5)=（max_l(3,4)，max_f(5,5)）；
对于max_l 有两种情况：
x在(3,4)中，max_l(3,5)=max_l(3,4);
x在(5,5)中，max_l(3,5)=max_l(5,5);
对于max_f，也有类似的递推。（判断条件自己想，不是我懒>_>）
我的代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int maxn=500005;
using namespace std;
long long sum[maxn*2],m_f[maxn*2],m_l[maxn*2],m_s[maxn*2];
int maxsub[maxn*2][2],maxf[maxn*2],maxl[maxn*2],a[maxn];
int n;
int build(int o,int L,int R){
int M=L+(R-L)/2;
if (L==R){
m_s[o]=m_f[o]=m_l[o]=sum[o]=a[L];
maxsub[o][0]=maxsub[o][1]=L;
maxf[o]=maxl[o]=L;
}
else {
build(o*2,L,M);
build(o*2+1,M+1,R);
sum[o]=sum[o*2]+sum[o*2+1];
if (m_f[o*2]<sum[o*2]+m_f[o*2+1]){
m_f[o]=sum[o*2]+m_f[o*2+1];
maxf[o]=maxf[o*2+1];
}
else {
m_f[o]=m_f[o*2];
maxf[o]=maxf[o*2];
}
if (m_l[o*2]+sum[o*2+1]>=m_l[o*2+1]){
m_l[o]=m_l[o*2]+sum[o*2+1];
maxl[o]=maxl[o*2];
}
else {
m_l[o]=m_l[o*2+1];
maxl[o]=maxl[o*2+1];
}
if (m_s[o*2]<m_s[o*2+1]){
m_s[o]=m_s[o*2+1];
maxsub[o][0]=maxsub[o*2+1][0];
maxsub[o][1]=maxsub[o*2+1][1];
}
else {
m_s[o]=m_s[o*2];
maxsub[o][0]=maxsub[o*2][0];
maxsub[o][1]=maxsub[o*2][1];
}
if (m_s[o]<m_l[o*2]+m_f[o*2+1]){
m_s[o]=m_l[o*2]+m_f[o*2+1];
maxsub[o][0]=maxl[o*2];
maxsub[o][1]=maxf[o*2+1];
}
else if (m_s[o]==m_l[o*2]+m_f[o*2+1]){
maxsub[o][0]=min(maxsub[o][0],maxl[o*2]);
maxsub[o][1]=min(maxsub[o][1],maxf[o*2+1]);
}
}
}
int gets(int o,int L,int R,int ql,int qr,int &a,int &b,long long &e,int &p1,long long &p2){
int M=L+(R-L)/2;
if (ql<=L&&R<=qr) {
if (e==-1000000000) {
a=maxsub[o][0];
b=maxsub[o][1];
e=m_s[o];
p1=maxl[o];
p2=m_l[o];
}
else {
if (m_s[o]>e&&m_s[o]>p2+m_f[o]){
a=maxsub[o][0];
b=maxsub[o][1];
e=m_s[o];
}
else if (p2+m_f[o]>=m_s[o]&&p2+m_f[o]>e){
a=p1;
b=maxf[o];
e=p2+m_f[o];
}
if (p2+sum[o]<m_l[o]) {
p1=maxl[o];
p2=m_l[o];
}
else p2=p2+sum[o];
}
}
else {
if (ql<=M) gets(o*2,L,M,ql,qr,a,b,e,p1,p2);
if (M<qr) gets(o*2+1,M+1,R,ql,qr,a,b,e,p1,p2);}
return 0;
}
int main (){
int kase=0,q;
while (scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF){
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
printf("Case %d:\n",++kase);
for (int i=0;i<q;i++){
int a,b,c,d,p1;scanf("%d%d",&a,&b);c=d=0;
long long e,p2;
e=-1000000000;
gets(1,1,n,a,b,c,d,e,p1,p2);
printf("%d %d\n",c,d);
}
}
return 0;
}
线段树功能很强大，但是很不好写了。相比起来，RMQ与树状数组是多么的简洁啊！！！
Uadate（x，v）：吧Ax修改为v.
Query （L，R）：指定区间内特征的查找.
所有RMQ与树状数组能解决的问题线段树都能解决，线段数结构如下图：
假设根节点是一个长度为2的h次方的区间，第i层就有2的i次方个节点，每个节点对应一个长度为2的(h-i)次方的区间。最大层编号为h，总结点个数为2的（h+1）次方减1。
在不同题目中，线段可以有不同的含义，如数轴上的一条线段，或序列中的连续子序列，但是最重要的还是线段上附加的信息以及对附加值的维护，这些信息可以是区间的最小值或最大值，区间内数值的和等等。
如何实现Uadate（x，v）与 Query （L，R）呢？
给出以下代码：
寻找区间【ql，qr】中的最小值：
int ql,qr;
int query(int o,int L,int R){
int M=L+(R-L)/2,ans=INF;
if (ql<=L&&R<=qr) return minv[o];
if (ql<=M) ans=min(ans,query(o*2,L,M));
if (M<qr) ans=min(ans,query(o*2+1,M+1,R));
return ans;
}
修改A【p】=v;
int p,v;
int update(int o,int L,int R){
int M=L+(R-L)/2;
if (L==R) minv[o]=v;
else {
if (p<=M) update(o*2,L,M);
else update(o*2+1,M+1,R);
minv[o]=min(minv[o*2],minv[o*2+1]);
}
return 0;
}
其实说实话，我觉得线段数没有什么固定的模板，因为对于不同的题目，所需要维护的信息各不相同，性质也各不相同，导致的结果就是我们维护区间的方法，查询的方法也就各不相同。
但是基本思想还是一样的，改变的只是维护方法与查询方法。
uva 1400 动态最大连续和（Ray，Pass me the Dishes） （很恶心的一道题，做了好久各种bug）
构造一颗线段树，维护3个值，最大连续和max_s，最大前缀和max_f,最大后缀和max_l.。
max_s（a,b）代表a<=x<=y<=b且D（x）+........+D(y)最大的二元组（x,y）；max_f代表的是a<=x<=b且D(a)+D(a+1)+.......D(x)最大的整数x， max_l代表的是a<=x<=b且D(x)+....D(b)最大的整数x。
比如，n=8，询问区间（3,5），（3,5）被线段树分成了（3,4），（5,5）。
对于max_s 有3种情况：
起点与终点都在(3,4)中，max_s（3,5）=max_s（3,4）；
起点与终点都在(5,5)中，max_s（3,5）=max_s（5,5）；
起点在(3,4)，终点在(5,5)，max_s(3,5)=（max_l(3,4)，max_f(5,5)）；
对于max_l 有两种情况：
x在(3,4)中，max_l(3,5)=max_l(3,4);
x在(5,5)中，max_l(3,5)=max_l(5,5);
对于max_f，也有类似的递推。（判断条件自己想，不是我懒>_>）
我的代码：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int maxn=500005;
using namespace std;
long long sum[maxn*2],m_f[maxn*2],m_l[maxn*2],m_s[maxn*2];
int maxsub[maxn*2][2],maxf[maxn*2],maxl[maxn*2],a[maxn];
int n;
int build(int o,int L,int R){
int M=L+(R-L)/2;
if (L==R){
m_s[o]=m_f[o]=m_l[o]=sum[o]=a[L];
maxsub[o][0]=maxsub[o][1]=L;
maxf[o]=maxl[o]=L;
}
else {
build(o*2,L,M);
build(o*2+1,M+1,R);
sum[o]=sum[o*2]+sum[o*2+1];
if (m_f[o*2]<sum[o*2]+m_f[o*2+1]){
m_f[o]=sum[o*2]+m_f[o*2+1];
maxf[o]=maxf[o*2+1];
}
else {
m_f[o]=m_f[o*2];
maxf[o]=maxf[o*2];
}
if (m_l[o*2]+sum[o*2+1]>=m_l[o*2+1]){
m_l[o]=m_l[o*2]+sum[o*2+1];
maxl[o]=maxl[o*2];
}
else {
m_l[o]=m_l[o*2+1];
maxl[o]=maxl[o*2+1];
}
if (m_s[o*2]<m_s[o*2+1]){
m_s[o]=m_s[o*2+1];
maxsub[o][0]=maxsub[o*2+1][0];
maxsub[o][1]=maxsub[o*2+1][1];
}
else {
m_s[o]=m_s[o*2];
maxsub[o][0]=maxsub[o*2][0];
maxsub[o][1]=maxsub[o*2][1];
}
if (m_s[o]<m_l[o*2]+m_f[o*2+1]){
m_s[o]=m_l[o*2]+m_f[o*2+1];
maxsub[o][0]=maxl[o*2];
maxsub[o][1]=maxf[o*2+1];
}
else if (m_s[o]==m_l[o*2]+m_f[o*2+1]){
maxsub[o][0]=min(maxsub[o][0],maxl[o*2]);
maxsub[o][1]=min(maxsub[o][1],maxf[o*2+1]);
}
}
}
int gets(int o,int L,int R,int ql,int qr,int &a,int &b,long long &e,int &p1,long long &p2){
int M=L+(R-L)/2;
if (ql<=L&&R<=qr) {
if (e==-1000000000) {
a=maxsub[o][0];
b=maxsub[o][1];
e=m_s[o];
p1=maxl[o];
p2=m_l[o];
}
else {
if (m_s[o]>e&&m_s[o]>p2+m_f[o]){
a=maxsub[o][0];
b=maxsub[o][1];
e=m_s[o];
}
else if (p2+m_f[o]>=m_s[o]&&p2+m_f[o]>e){
a=p1;
b=maxf[o];
e=p2+m_f[o];
}
if (p2+sum[o]<m_l[o]) {
p1=maxl[o];
p2=m_l[o];
}
else p2=p2+sum[o];
}
}
else {
if (ql<=M) gets(o*2,L,M,ql,qr,a,b,e,p1,p2);
if (M<qr) gets(o*2+1,M+1,R,ql,qr,a,b,e,p1,p2);}
return 0;
}
int main (){
int kase=0,q;
while (scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF){
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
printf("Case %d:\n",++kase);
for (int i=0;i<q;i++){
int a,b,c,d,p1;scanf("%d%d",&a,&b);c=d=0;
long long e,p2;
e=-1000000000;
gets(1,1,n,a,b,c,d,e,p1,p2);
printf("%d %d\n",c,d);
}
}
return 0;
}
线段树功能很强大，但是很不好写了。相比起来，RMQ与树状数组是多么的简洁啊！！！
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