编程之美 大神與三位小夥伴

当然，这也参考了别人的想法，本来是没什么好参考的，编程之美资格门槛题，思路很简单，但是因为以前一看到关于组合算个数or数据过大的题目就望而却步，没想到里面这么简单，看别的思路主要是为了确定这真的很简单，然后提高自己的信心去做罢了=。=

AC代码如下：

#include <iostream>

#include <cstdio>

using namespace std;

int main(){

long long T,n;

long long res,mod = (10e8 + 7) *
8;

scanf("%lld",&T);

for(long long t =
1;t <= T;t++){

scanf("%lld",&n);

res = ((((n % mod) * (n
% mod)) % mod) * ((((n
+ 1)
% mod) * ((n +
1) % mod))) * ((n
% mod) * (n % mod) - (3 * n
% mod) +
4)) % mod;

res /= 8;

printf("Case %lld: %lld\n",t,res);

}

return 0;

}

看这几行代码就知道，简单，主要就只涉及一行公式，还有就是注意变量类型(int太小，long long 合适题目范围)，下面说说公式推导：

题目说送三个人各一个礼物，分别从A_i,B_i,C_i中取，其中A,B,C这三种中又各有N类，每类数目为N+1-i个，限制是不能有两个小伙伴的事一样的而且只限于两个不能一样。其实题目没说清楚，这个题目如果说的很清楚的话人们就会发现其实在A,B,C这三种的每种里的没个都是一个不一样的个体，没有一样的，一样的只有价钱而已，所以，题目说不能有两样一样的只是不能有两一样价钱的，但是他们本身是不一样的东西，虽然可能价钱一样。接下来就是组合了，先进行分类：

a.先对总体的进行组合，即在没有任何条件的情况下有多少种：

对于每一个小伙伴，其选择的种类都是：num=1+2+3+...+N=N * (N + 1) / 2

他们三个小伙伴各有num种，则，三个人组合起来的种类数就是：num^3=num*num*num=[N*(N+1)/2]^3

b.选出含有两个小伙伴是取同样价值礼物的情况(得注意的是这里不区分是否三个礼物都一样的情况)：

i)先组合两个小伙伴，事先让他们礼物价值一样的合起来，假设所选的伙伴为x和y，则对于价值为i的礼物，x从(N+1-i)挑出一件，有(N+1-i)种选法，同样y也一样，所以，x和y选同样价值i的选法有(N+1-i)^2种，然后对各种价值进行加和，即：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2=N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6------(此为平方和公式)；

ii)由于有三个小伙伴，每两个组合都有上面所说的种类数，而三个小伙伴的组合数有3种(3!/(2! * 1!) = 3)。

所以，有两个礼物价值相同的情况数为：3 * [N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6]

c.在b中去除两种价值相同的同时也把三个相同的情况也一并去除了，所以，还得补回三个相同的情况，而三个小伙伴的礼物都相同的情况为：

1^3+2^3+3^3+...+N^3=[N * (N + 1) / 2]^2--------------(立方和公式)

因为b中的结果英爱减去c中的结果数(并且是没个小伙伴的组合都得减)，所以b和c的组后的结果数为：

3 * {N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6 - [N * (N + 1) / 2]^2 }

最后的结果组合数表示为：

a中组合数 - b和c组合数 = [N*(N+1)/2]^3 - 3 * {N * (N + 1) * (2 * N + 1) / 6 - [N * (N + 1) / 2]^2 }

上面的公式可以化简，由于过于简单，就不说了，直接给出化简后的公式：

N^2 * (N+1)^2 * (N^2 - 3 * N + 4) /
8

代码中之所以给模数在乘以8就是为了避免相除又取模，虽然除取模可以用逆元做，但是我脑抽+懒+不懂，所以就用这么土的方式解决了，但是对于我来说解决一个问题不在于方法有多么牛逼，要看对这个问题的解决的效果好坏来评判，最简单+最高效+最适合自己+最简洁+最容易理解的方法我认为才是最好的。好吧，就酱紫啦。