[物理学与PDEs]第2章第2节 粘性流体力学方程组 2.3 广义 Newton 法则---本构方程

1. ${\bf P}=(p_{ij})$, 而 $$\bex p_{ij}=-p\delta_{ij}+\tau_{ij}, \eex$$ 其中 $\tau_{ij}$ 对应于摩擦切应力.

2. 由于内摩擦力只与相对运动有关, 而 $\tau_{ij}$ 与速度无关, 而只与速度梯度有关, 且为线性的 (实验已很好的证实): $$\bex \tau_{ij}=c_{ijkl}\cfrac{\p u_k}{\p x_l}. \eex$$ 由于 $(\tau_{ij})$ 和 $\sex{\cfrac{\p u_k}{\p x_l}}$ 均为二阶张量, 而由张量识别定理, $(c_{ijkl})$ 为四阶张量. 又由 $p_{ij}$ 而 $\tau_{ij}$ 对称知 $$\bex c_{ijkl}=c_{jikl}. \eex$$

3. 设流体各向同性, 则 $c_{ijkl}$ 为各向同性张量, 有形式 $$\bex c_{ijkl}=\lm \delta_{ij}\delta_{kl} +\alpha \delta_{ik}\delta_{jl} +\beta\delta_{il}\delta_{jk}. \eex$$ 令 $\alpha=\mu+\nu$, $\beta=\mu-\nu$, 则由 $c_{ijkl}=c_{jikl}$ 知 $$\bex c_{ijkl}=\lm \delta_{ij}\delta_{kl} +\mu\sex{\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}}. \eex$$ 由此, $c_{ijkl}=c_{ijlk}$, $$\bee\label{2_2_3_tau} \tau_{ij}=\lm \Div{\bf u}\delta_{ij}+2\mu s_{ij},\quad s_{ij}=\cfrac{1}{2}\sex{\cfrac{\p u_i}{\p x_j}+\cfrac{\p u_j}{\p x_i}}, \eee$$$$\bee\label{2_2_3_p} p_{ij}=(-p+\lm \Div{\bf u})\delta_{ij}+2\mu s_{ij}, \eee$$$$\bex {\bf P}=(-p+\lm \Div{\bf u}){\bf I}+2\mu {\bf S}. \eex$$

4. $\lm$, $\mu$ 的物理意义

(1) 考虑沿 $x_1$ 方向的剪切运动 $$\bex u_1=u_1(x_3),\quad u_2=u_3=0. \eex$$ 则由 \eqref{2_2_3_p}, $$\bex p_{13}=\mu \cfrac{\p u_1}{\p x_3}. \eex$$ 这就是 Newton 法则. 称 $\mu$ 为第一粘性系数 (动力学粘性系数).

(2) 由 \eqref{2_2_3_tau}, $$\bex \cfrac{1}{3}\sum_{i=1}^3 \tau_{ii} =\sex{\lm+\cfrac{2}{3}\mu }\Div{\bf u} =\sex{\lm+\cfrac{2}{3}\mu}\cfrac{1}{\tau}\cfrac{\rd \tau}{\rd t}\quad\sex{\tau=\cfrac{1}{\rho}:\mbox{ 比容}}. \eex$$ 记 $$\bex \mu'=\lm+\cfrac{2}{3}\mu, \eex$$ 则其为平均摩擦正应力与体积变化率之比, 描述流体运动过程中由膨胀或收缩引起的平均摩擦正应力的变换; 称为第二粘性系数 (膨胀粘性系数).

5. 总结:

(1) 应力张量---本构方程: $$\bex p_{ij}=-p\delta_{ij}+ 2\mu\sex{s_{ij}-\cfrac{1}{3}\Div{\bf u}\delta_{ij}} +\mu'\Div{\bf u} \delta_{ij}. \eex$$

(2) 广义Newton 法则: $$\bex \tau_{ij}=2\mu\sex{s_{ij}-\cfrac{1}{3}\Div{\bf u}\delta_{ij}} +\mu'\Div{\bf u} \delta_{ij}, \eex$$ 其中 $\mu>0$, $\mu'\geq 0$.