关于使用牛顿迭代法和二分法解方程的算法说明
2014-04-11 13:30
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一、牛顿迭代法:
用牛顿迭代法求f(x)=0在x0附近的一个实根的方法是
(1) 选一个接近于x的真实根的近似根x1;
(2) 通过x1求出f(x1)。在几何上就是作x=x1,交f(x)于f(x1);
(3) 过f(x1)作f(x)的切线,交x轴于x2。可以用公式求出x2。由于
![](http://hefuliang.cai.swufe.edu.cn/EXAMPLE/Ddiego1.jpg)
故
![](http://hefuliang.cai.swufe.edu.cn/EXAMPLE/Ddiego2.jpg)
(4) 通过x2求出f(x2);
(5) 再过f(x2)作f(x)的切线交x轴于x2;
(6) 再通过x3求出f(x3),…一直求下去,直到接近真正的根。当两次求出的根之差|xn+1-xn|≤ε就认为 xn+1足够接近于真实根。
牛顿迭代公式是:
![](http://hefuliang.cai.swufe.edu.cn/EXAMPLE/Ddiego3.jpg)
二、二分法
任取两点x1和x2,判断(x1,x2)区间内有无一个实根。如果f(x1)和f(x2)符号相反,说明(x1,x2)之间有一个实根。取(x1,x2)的中点x,检查f(x)与f(x1)是否同符号,如果不同号,说明实根在(x,x1)区间,这样就已经将寻找根的范围减少了一半了。然后用同样的办法再进一步缩小范围。再找x1与x2(x2=x)的中点“x”,并且再舍弃其一半区间。如果f(x)与f(x1)同号,则说明根在(x,x2)区间,再取x与x2的中点,并舍弃其一半区间。用这个办法不断缩小范围,直到区间相当小为止。
用牛顿迭代法求f(x)=0在x0附近的一个实根的方法是
(1) 选一个接近于x的真实根的近似根x1;
(2) 通过x1求出f(x1)。在几何上就是作x=x1,交f(x)于f(x1);
(3) 过f(x1)作f(x)的切线,交x轴于x2。可以用公式求出x2。由于
![](http://hefuliang.cai.swufe.edu.cn/EXAMPLE/Ddiego1.jpg)
故
![](http://hefuliang.cai.swufe.edu.cn/EXAMPLE/Ddiego2.jpg)
(4) 通过x2求出f(x2);
(5) 再过f(x2)作f(x)的切线交x轴于x2;
(6) 再通过x3求出f(x3),…一直求下去,直到接近真正的根。当两次求出的根之差|xn+1-xn|≤ε就认为 xn+1足够接近于真实根。
牛顿迭代公式是:
![](http://hefuliang.cai.swufe.edu.cn/EXAMPLE/Ddiego3.jpg)
二、二分法
任取两点x1和x2,判断(x1,x2)区间内有无一个实根。如果f(x1)和f(x2)符号相反,说明(x1,x2)之间有一个实根。取(x1,x2)的中点x,检查f(x)与f(x1)是否同符号,如果不同号,说明实根在(x,x1)区间,这样就已经将寻找根的范围减少了一半了。然后用同样的办法再进一步缩小范围。再找x1与x2(x2=x)的中点“x”,并且再舍弃其一半区间。如果f(x)与f(x1)同号,则说明根在(x,x2)区间,再取x与x2的中点,并舍弃其一半区间。用这个办法不断缩小范围,直到区间相当小为止。
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