树状数组（二叉索引树）(uva 1428 - Ping pong )

     个人认为树状数组在功能上是RMQ算法的升级版。

     树状数组支持以下两种操作：

         Add(x,d)  : 让Ax增加d；

         Query(L,R): 计算A(l)+A(l+1)+A(l+2)+....+A(R);

     首先，我们定义lowbit(x)为x的二进制表达式中最右边的1所对应的数值（不是序列号）。比如5的二进制是101，lowbit(5)=1;6的二进制是110，lowbit(6)=2。

     如何计算lowbit呢？lowbit(x)=x&(-x);因为在计算机中负数是正数按位取反加1得到的。

     


变成一棵树：（叫做树状数组的原因吧<_<）

               


     红色节点是我们要存储的，红色节点存储的是红色节点加上前面蓝色节点的和。

     比如c8代表的是a1-a8的和，c12代表的是a9-a12的和。（c为辅助数组，a为存储具体数值的数组）

     并且每层的lowbit的值是相同的。（觉得网络上的图意思表达的不明显，自己不会用数学绘图软件T-T，就用excel自己做了个，不太好看见谅。）

              ci=a（i-lowbit（i）+1）+a（i-lowbit（i）+2）+...a(i)；

     有了数组c后如何计算前缀和Si呢？顺着节点i往左走，边走边“爬”（注意并不一定沿着树爬）,把沿途的ci加起来就行了，如下图计算s11：

  


     修改一个ai，需要更新哪些ci呢？从ci向右走，边走边“爬”，如下图修改a3：

  


 

我的模板：

  

int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int sum(int x){
int ret=0;
while (x>0) {
ret+=C[x];x-=lowbit(x);
}
return ret;
}
int add(int x,int d){
while (x<=n){
C[x]+=d;x+=lowbit(x);
}
return 0;
}
int query(int L,int R){
return sum(R)-sum(L-1);
}

练习题可以做uva 1428 - Ping pong 

   考虑第i个人当裁判的情况。加上a1到a（i-1）中有ci个比ai小，那么有（i-1）-ci个比ai大；同理，假设a（i+1）到a（n）有di个比ai小，那么就有（n-i）-di个比ai大。此时就有ci（n-i-di）+（i-ci-1）di种比赛。问题就变成求ci和di了。

  ok，ci可以这样求,用辅助数组X[j]表示到目前为止，有几个ai与j相等,则ci就是X[1]...X[ai-1]的前缀和了。

  时间复杂度为O（n）；

我的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int maxn =20000;
using namespace std;
int C[200009],a[maxn],d[maxn],b[maxn],n,maxd;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int sum(int x){
int ret=0;
while (x>0) {
ret+=C[x];x-=lowbit(x);
}
return ret;
}
int add(int x,int d){
//printf("%d\n",maxd);
while (x<=maxd){
C[x]+=d;x+=lowbit(x);
}
return 0;
}

int main (){
int T;scanf("%d",&T);
while (T--){
memset(C,0,sizeof(C));
scanf("%d",&n);maxd=0;
for (int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
maxd=max(maxd,a[i]);
}
for (int i=0;i<n;i++){
d[i]=sum(a[i]-1);
add(a[i],1);
}
memset(C,0,sizeof(C));
for (int i=n-1;i>=0;i--){
b[i]=sum(a[i]-1);
add(a[i],1);
}
long long ans=0;
for (int i=0;i<n;i++){
ans+=d[i]*(n-i-1-b[i])+(i-d[i])*b[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}

如果每个人都能力值不唯一的话（>_>我没有看错题），可以用下面的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int maxn =20000;
using namespace std;
int C[200009],C1[200009],a[maxn],d[maxn],b[maxn],d1[maxn],b1[maxn],n,maxd;
int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
int sum(int x){
int ret=0;
while (x>0) {
ret+=C[x];x-=lowbit(x);
}
return ret;
}
int add(int x,int d){
while (x<=maxd){
C[x]+=d;x+=lowbit(x);
}
return 0;
}
int sum1(int x){
int ret=0;
while (x<maxd+1) {
ret+=C1[x];x+=lowbit(x);
}
return ret;
}
int add1(int x,int d){
while (x>=1){
C1[x]+=d;x-=lowbit(x);
}
return 0;
}
int main (){
int T;scanf("%d",&T);
while (T--){
memset(C,0,sizeof(C));
memset(C1,0,sizeof(C1));
scanf("%d",&n);maxd=0;
for (int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
maxd=max(maxd,a[i]);
}
for (int i=0;i<n;i++){
add(a[i],1);
add1(a[i],1);
d[i]=sum(a[i]-1);
d1[i]=sum1(a[i]+1);
}
memset(C,0,sizeof(C));
memset(C1,0,sizeof(C1));
for (int i=n-1;i>=0;i--){
add(a[i],1);
add1(a[i],1);
b[i]=sum(a[i]-1);
b1[i]=sum1(a[i]+1);
}
long long  ans=0;
for (int i=0;i<n;i++){
//printf("%d\n",i+1);
//printf("左小%d 右小%d\n",d[i],b[i]);
//printf("左大%d 右大%d\n",d1[i],b1[i]);
ans+=d[i]*b1[i]+d1[i]*b[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}