【数学】素数筛法

在C语言课上总有一个练习是求素数，比如下面这个程序就符合要求：

///////求1-100的素数///////
#include<stdio.h>

int main()
{
for(int i=2;i<=100;i++){
int pri = 1;
for(int j=2;j<i;j++){
if(i%j==0){
pri = 0;
break;
}
}
if(pri) printf("%d ",i);
}
return 0;
}

而它的思路也非常清楚明了，就是走定义，遍历验证。

现在的问题是，在ACM题目中，由于要求的素数往往很大，而这种求法对越大的 i 时间开销越多，所以几乎会无一例外的超时（Time Limit Exceeded），故需要做一些必要的优化。

现在有这样一种方法，可以更高效的求出较大的素数：

先假定所有数都是质数，然后从2开始遍历，发现2是质数，那么2的倍数4,6,8...都被记做合数，然后遍历到3，发现3也是质数，那么3的倍数6,9,12...都被记做合数（6虽然记过了但是还会再记一次），然后遍历到4发现它已是合数，所以直接跳过（当然也可以从3开始每次隔一个数遍历，直接跳过所有偶数）。。。如此遍历，越往后遍历的跨度越大，即越往后开销越少，从而达到提高效率的目的。示意图如下（图片来自维基百科）：



至此我们可以猜想出“筛法”名字的由来，它正是通过将合数分批筛除达到保留素数的目的的。

下面是代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>

const int N=100000;
const int M=30000;

bool is
;
int prm[M];

int getPrime(){

int e = (int)(sqrt(0.0 + N) + 1), k = 0, i;
memset(is, 1, sizeof(is));
prm[k++] = 2;
is[0] = is[1] = 0;
for(i=4;i<N;i+=2) is[i] = 0;
for(i=3;i<e;i+=2){
if(is[i]){
prm[k++] = i;
for(int s=i+i,j=i*i;j<N;j+=s) is[j] = 0;
}
}
for(;i<N;i+=2)
if (is[i]) prm[k++] = i;
return k;
}

int main()
{
getPrime();
for(int i=0;i<100;i++) printf("%d ",prm[i]);
printf("\n");
for(int i=0;i<100;i++) printf("%d ",is[i]);
return 0;
}

里面用到了两个数组，一个 prm 就是我们熟悉的素数表（2,3,5,7...），而另一个 is 则是一个比较新的标记法，它可以通过 is[i] 指示 i 是否是素数，这种数组以后也将经常用到，在某些情况下能更方便的解决素数有关题目。

应该说这种一般筛法已经可以应对大部分题目了，但此外还有一些更加快速高效的筛法，有空再继续学习~