计算几何前站之计算误差——摘自《挑战程序设计竞赛》

开始计算几何的一些东西了，

先从误差处理打一打前站。

在处理double之类的浮点数时，需要注意浮点误差。浮点数将数字表示为（尾数）*2^（指数）的形式，对于一定范围内的整数，可以精确表示，但对于0.1这样的简单小数，却无法精确表示。对于不能精确表示的数，只能通过所能表示的数中最接近的数近似表示。近似表示造成的误差则成为舍入误差。

对于double类型，尾数部分大致相当于10进制下的15位。多数情况下，就其计算结果而言，精度已经足够了。但当我们要比较两个计算后的结果时，就需要特别注意。

例如上面的问题（POJ 1127 JackStraw） ，首先求出交点，然后判断交点是否在线段上。如果我们完全不考虑误差，程序将会WA。这是因为由于误差，原本应该相等的结果有可能实际上并不相等。比较包含舍入误差的浮点数时所采用的方法，一般是选取合适的足够小的常数EPS，按如下规则处理

a<0 → a<-EPS

a<=0 → a<EPS

a==0 → abs(a)<EPS

在大多数计算结果不是太大的情况下，都可以使用该方法处理。但在几何问题的计算过程中，常会通过内积（点积）或外积（叉积）得到原坐标值的平方大小的结果，在比较这些大的结果时需要格外注意。假设所取的ESP位10^-10。现在要求对因为误差导致原本相等却实际不等的大约10^8大小的两个数作差，并判断差是否等于0。由于double的精度只有约十进制15位，所得差的绝对值大于EPS，所以会被误判为不等。像这样，求两个非常接近的数的差时将会发生有效位丢失，导致所得结果的有效数字位数大大减少。前面的程序，我们所采取的方法是，在进行浮点数减法时，如果两个数按相对误差比较是相等的就令结果为0。这样我们在计算的过程中处理了误差，所以在与0进行比较时，就可以不考虑误差直接比较了。

众所周知处理误差是一个非常复杂且深奥的问题。不过在程序设计竞赛中，有时候题目描述中会说明计算中的微小误差不会影响结果。即便没有这类说明，大多数情况下，利用上面介绍的方法也足够了。如果无论如何都无法满足精度要求的话，还可以使用别的处理方法。比如说可以使用分数类避免浮点数运算，在C++中还可以使用精度更高的浮点数类型long double，在JAVA中还可以使用BigDecimal之类的高精度浮点数类。此外，对确定是0的结果进行特别处理可以让程序对误差更健壮。