线性代数(五十二) : 对角化与惯性律
2014-04-08 20:31
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本节介绍将二次型转化为对角矩阵.
进行变换:
使得q在新变量z下的矩阵表示是对角矩阵.即:
假设q的矩阵表示中对角线的元素不全为0.假设h11不为零.将全体包含y1的项归类:
由于H是对称矩阵.因此q可以写为:
令:
则:
其中:
如果q的矩阵表示中对角线的元素都为零.但非对角线元素不全为零.不妨设:
则可以引入新变量:
在新变量的矩阵表示中对角线元素不全为零.
如果q的矩阵表示中全体元素都为零.则:
定理无需证明.
对变量个数n进行归纳.由(13)式可知,如果含n-1个变量的二次型q2能化为(11)式的形式.
则q也能.由(12)式可知:如果y2,...,yn左乘以某个可逆矩阵等于z2,...,zn,则必存在可逆矩阵使得全体y左乘以该矩阵等于全体z.
这一性质常备称为惯性律.
为了证明该定理需要一条引理:
S是R^n的子空间.称q在S上正定,如果:
类似的定义负定:
类似的有:
引理二的证明省略.
引理二表明P+和P-由二次型q本身确定.与(11)式中的变量的选取无关.由于:
因此证明了惯性律.
1 对角化
对于二次型:进行变换:
使得q在新变量z下的矩阵表示是对角矩阵.即:
假设q的矩阵表示中对角线的元素不全为0.假设h11不为零.将全体包含y1的项归类:
由于H是对称矩阵.因此q可以写为:
令:
则:
其中:
如果q的矩阵表示中对角线的元素都为零.但非对角线元素不全为零.不妨设:
则可以引入新变量:
在新变量的矩阵表示中对角线元素不全为零.
如果q的矩阵表示中全体元素都为零.则:
定理无需证明.
对变量个数n进行归纳.由(13)式可知,如果含n-1个变量的二次型q2能化为(11)式的形式.
则q也能.由(12)式可知:如果y2,...,yn左乘以某个可逆矩阵等于z2,...,zn,则必存在可逆矩阵使得全体y左乘以该矩阵等于全体z.
2 惯性律
对于上边引入新变量对角化q的方式通常不止一种.但无论哪种方式.上式中对角线元素di为正负和零的数目都不变.这一性质常备称为惯性律.
为了证明该定理需要一条引理:
3 正定与负定
以P+,P-,P0 分别表示(11)式中的正负项和零的数目.S是R^n的子空间.称q在S上正定,如果:
类似的定义负定:
4 引理
R^n的使q正定的最大子空间的维数是P+:类似的有:
引理二的证明省略.
引理二表明P+和P-由二次型q本身确定.与(11)式中的变量的选取无关.由于:
因此证明了惯性律.
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