[物理学与PDEs]第1章习题12 Coulomb 规范下电磁场的标势、矢势满足的方程

试给出在 Coulomb 规范下, 电磁场的标势 $\phi$ 与矢势 ${\bf A}$ 所满足的方程.

解答: 真空中的 Maxwell 方程组为 $$\bee\label{1_10_12:eq} \bea \Div{\bf E}&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \rot{\bf E}&=-\cfrac{\p{\bf B}}{\p t},\\ \Div{\bf B}&=0,\\ \rot{\bf B}&=\mu_0\sex{\ve_0\cfrac{\p{\bf B}}{\p t}+{\bf j}}. \eea \eee$$在 Coulomb 规范下, 由 $\Div{\bf B}=0$ 知 $$\bex \exists\ {\bf A},\st \Div{\bf A}=0,\ \rot{\bf A}={\bf B}. \eex$$ 此时由 $\eqref{1_10_12:eq}_2$ 知 $$\bex \exists\ \phi,\st {\bf E}+\cfrac{\p{\bf A}}{\p t}=-\n\phi. \eex$$ 将上述两式代入 $\eqref{1_10_12:eq}_1$, $\eqref{1_10_12:eq}_4$ 即知 $$\beex \bea -\lap\phi&=\cfrac{\rho}{\ve_0},\\ \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf A}}{\p t^2} -\lap{\bf A}&=\mu_0{\bf j}-\cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p\n\phi}{\p t}. \eea \eeex$$