ACM第一课---数论之欧拉函数

ACM第一课---数论之欧拉函数

分类： 算法总结2013-11-05
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欧拉函数

定义

欧拉函数PHI(n)表示的是比n小，并且与n互质的正整数的个数(包括1)。

比如：PHI(1) = 1; PHI(2) = 1; PHI(3) = 2; PHI(4) = 2; ... PHI(9) = 6; ...

通式及其证明

要计算一个正整数n的欧拉函数的方法如下：

1. 将n表示成素数的乘积: n = p1 ^ k1 * p2 ^ k2 * ... * pn ^ kn（这里p1, p2, ..., pn是素数）

2. PHI(n) = (p1 ^ k1 - p1 ^ (k1 - 1)) * (p2 ^ k2 - p2 ^ (k2 - 1)) * ... * (pn ^ kn - pn ^ (kn - 1))

=n*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);

=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pn)

证明过程如下：

1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。因为每个比n小的正整数都和n互素。当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因为在1到n之间的正整数只有p的倍数和n不互素，这样的数有(p ^ k / p)个。

（第二步的证明没看太明白，还希望懂的人讲解一下）。。。。

2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。用中国剩余定理可以证明，证明的思路是建立这样一种一一对应的关系(a, b) <-> x，其中正整数a小于m并且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n并且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n并且gcd(m*n, x) = 1。证明过程如下：

1)根据中国剩余定理，如果m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在并且仅存在一个解。容易证明，如果两个这样的方程组有相同的m, n但是a, b不同，那么他们的解x一定不同。

2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：假设gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。

3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）可以知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。

4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是可以和x建立起一一对应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。

3.将n分解成素数乘积后，显然对于任意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是可以的到上面的公式。

跟据上面的公式，可以得到关于欧拉函数的递推关系：

假设数p能整除n，那么

如果p还能整除n / p, 即是若（N%p == 0 && (N/p) % p ==0 ）PHI(n) = PHI(n / p) * p;

如果p不能整除n / p, 即是若 (N%p == 0 && (N/p) % p != 0) PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);

算法实现

先回顾筛法

（主要可参考上篇）

[cpp] view
plaincopyprint?

for(i=2;i<=1000000;i++)

{

if(!c[i])prime[len++]=i;

for(j=0;j<len&&prime[j]*i<=1000000;j++)

{

c[prime[j]*i]=1;//不是质数

if(i%prime[j]==0)break; //

}

}

}

然后便是求解欧拉函数

[cpp] view
plaincopyprint?

phi[1] = 1;

for (i = 2; i < 10000; i++) {

if (!mark[i]) {

phi[i] = i - 1;

continue;

}

for (j = 0; j < size && prime[j] * prime[j] <= i; j++) {

if (i % prime[j] == 0) {

if (i / prime[j] % prime[j] == 0)

phi[i] = prime[j] * phi[i / prime[j]];

else

phi[i] = (prime[j] - 1) * phi[i / prime[j]];

break;

}

}

}

总结

表示真心不好理解.所以，暂时只能先记忆，做做题目。

可能就会理解吧

参考：http://hi.baidu.com/ldante/item/28042208e1f139133b53eefc

【未完待续】........