NYOJ119士兵杀敌(三)RMQ问题之ST…
2014-04-01 18:02
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题目大意:求一段区间内的最大值和最小值的差值,查询次数非常大。
第一次接触RMQ类型的题目,在百度百科科普了一下。RMQ问题
RMQ (Range Minimum/MaximumQuery)问题是指:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。
ST算法:
首先是预处理,用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列32
4 5 6 8 1 2 9 7,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j](j≥1)平均分成两段(因为j≥1时,f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。
接下来是得出最值,也许你想不到计算出f有什么用处,一般要想计算max还是要O(logn),甚至O(n)。但有一个很好的办法,做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间(保证有f对应)。直接给出表达式:
k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
这样就计算了从l开始,长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值(表达式比较繁琐,细节问题如加1减1需要仔细考虑),二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。
其实我个人觉得这个和树状数组十分的相似,树状数组是将数组的和预处理用二叉树存储,这个事将数组区间的最值用二维数组储存罢了。
解题代码:(百度百科的写的非常的经典,就稍微改了一点,直接过了)
不懂可以私信。
题目大意:求一段区间内的最大值和最小值的差值,查询次数非常大。
第一次接触RMQ类型的题目,在百度百科科普了一下。RMQ问题
RMQ (Range Minimum/MaximumQuery)问题是指:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j里的最小(大)值,也就是说,RMQ问题是指求区间最值的问题。
ST算法:
首先是预处理,用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列32
4 5 6 8 1 2 9 7,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j](j≥1)平均分成两段(因为j≥1时,f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。
接下来是得出最值,也许你想不到计算出f有什么用处,一般要想计算max还是要O(logn),甚至O(n)。但有一个很好的办法,做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间(保证有f对应)。直接给出表达式:
k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
这样就计算了从l开始,长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值(表达式比较繁琐,细节问题如加1减1需要仔细考虑),二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。
其实我个人觉得这个和树状数组十分的相似,树状数组是将数组的和预处理用二叉树存储,这个事将数组区间的最值用二维数组储存罢了。
解题代码:(百度百科的写的非常的经典,就稍微改了一点,直接过了)
#include<stdio.h> #include<string.h> #define MN 100008 using namespace std; int mi[MN][17],mx[MN][17],w[MN]; int n,q; int max(int a,int b){ return a>b?a:b; } int min(int a,int b){ return a>b?a:b; } void rmqinit()//初始化数组 { int i,j,m; for(i=1;i<=n;i++){mi[i][0]=mx[i][0]=w[i];} m=(int) floor(log2((double)n)); for(i=1;i<=m;i++) { for(j=n;j>=1;j--) { mx[j][i]=mx[j][i-1]; if(j+(1<<(i-1))<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i],mx[j+(1<<(i-1))][i-1]); mi[j][i]=mi[j][i-1]; if(j+(1<<(i-1)<=n)) mi[j][i]=min(mi[j][i],mi[j+(1<<(i-1))][i-1]); } } } int rmqmin(int l,int r)//l,r区间的最小值 { int m=(int)floor(log2(double(r-l+1))); returnmin(mi[l][m],mi[r-(1<<m)+1][m]); } int rmqmax(int l,int r) { intm=(int)floor(log2(double(r-l+1))); returnmax(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]); } int main() { scanf("%d%d",&n,&q); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]); rmqinit(); int l,r; for(int i=1;i<=q;i++) { scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d\n",rmqmax(l,r)-rmqmin(l,r)); } return 0; }
不懂可以私信。
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