poj 2411 & 编程之美 4.2 瓷砖覆盖地板

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题意：用 1 * 2 的瓷砖覆盖 n * m 的地板，问共有多少种覆盖方式？

思路：用2进制的01表示不放还是放，第i行只和i-1行有关，枚举i-1行的每个状态，推出由此状态能达到的i行状态：如果i-1行的出发状态某处未放，必然要在i行放一个竖的方块，所以我对上一行状态按位取反之后的状态就是放置了竖方块的状态。然后用dfs搜索在i行放横着的方块的所有可能，并且把这些状态累加上i-1的出发状态的方法数，如果该方法数为0，直接continue。

[cpp] view plaincopy#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
  
/** n * m 的地板 */  
int n,m;  
  
/** dp[i][j] = x 表示使第i 行状态为j 的方法总数为x */  
__int64 dp[12][2049];  
  
/* 该方法用于搜索某一行的横向放置瓷砖的状态数,并把这些状态累加上row-1 行的出发状态的方法数 
 * @name row 行数  
 * @name state 由上一行决定的这一行必须放置竖向瓷砖的地方，s的二进制表示中的1 就是这些地方 
 * @name pos 列数 
 * @name pre_num row-1 行的出发状态为~s 的方法数 
 */   
void dfs( int row, int state, int pos, __int64 pre_num )  
{  
    /** 到最后一列  */  
    if( pos == m ){  
        dp[row][state] += pre_num;  
        return;  
    }  
  
    /** 该列不放 */  
    dfs( row, state, pos + 1, pre_num );  
  
    /** 该列和下一列放置一块横向的瓷砖 */  
    if( ( pos <= m-2 ) && !( state & ( 1 << pos ) ) && !( state & ( 1 << ( pos + 1 ) ) ) )  
        dfs( row, state | ( 1 << pos ) | ( 1 << ( pos + 1 ) ), pos + 2, pre_num );  
}  
int main()  
{     
    while( scanf("%d%d",&n,&m) && ( n || m ) ){  
        /** 对较小的数进行状压，已提高效率 */  
        if( n < m ){  
            n=n^m;  
            m=n^m;  
            n=n^m;  
        }  
  
        memset( dp, 0, sizeof( dp ) );  
  
        /** 初始化第一行 */  
        dfs( 1, 0, 0, 1 );  
  
        for( int i = 2; i <= n; i ++ )   
            for( int j = 0; j < ( 1 << m ); j ++ ){  
                if( dp[i-1][j] ){  
                    __int64 tmp = dp[i-1][j];  
  
                    /* 如果i-1行的出发状态某处未放，必然要在i行放一个竖的方块， 
                     * 所以我对上一行状态按位取反之后的状态就是放置了竖方块的状态 
                     */  
                    dfs( i, ( ~j ) & ( ( 1 << m ) - 1 ), 0, tmp ) ;  
                }  
                else continue;        
            }  
  
        /** 注意并不是循环i 输出 dp
[i]中的最大值 */  
        printf( "%I64d\n",dp
[(1<<m)-1] );   
  
    }  
    return 0;  
}

扩展：

用p*q的瓷砖能覆盖M*N的地板的充要条件是：（这是一个判定问题，并不需要求方法数）
1。第一行和第一列可以被覆盖
2。m或n可以被p整除并且m或n可以被q整除

简单证明：

①当m(或n)被p 整除 & n(或m)被q 整除时，易知，一定能覆盖（一行行覆盖）

②当m(或n)被p * q 整除时，只要第一行的n 个格子能被覆盖，则一定能覆盖

③当①与②都不满足时，根据面积易知一定不能覆盖

更详细的参见下面的slides:
http://www-math.mit.edu/~rstan/transparencies/tilings.pdf