麦克风阵列技术入门（2）

1.3. 连续孔径

术语“孔径”指的是发射或接收波的空间区域。发射孔径也被称为主动孔径(active aperture)，接收孔径称为被动孔径(passive aperture)。举例来说，在光学领域，孔径可以是一个不透明的隔板上的一个孔。在电磁学中，孔径可以表示电磁天线。声学领域，孔径可以表示一个将声信号转换为电信号的电声传感器（麦克风）或一个将电信号转换为声音号的设备（扬声器）。

1.3.1. 孔径函数

考虑一个体积为V的接收孔径，x(t,r) 表示在时间t 和空间 r 处信号的值。考虑接收孔径在r处的一个无限小的体积dV的冲击响应为a(t,r)，那么接收到的信号可以用卷积表示



或者，用其频域表示



A(f,r) 被称为孔径函数或sensitivity function，它给出了孔径上不同空间位置的响应函数。

注：上面说的是孔径上一特定点的响应，我们获得的信号是孔径上所有点响应的线性叠加。也就是：

1.3.2. Directivity Pattern

一个接收孔径的响应是有方向性的，因为对于不同方向传来的信号来说孔径所张开的立体角是不同的。图 1 给出了一维线性孔径接收平面波信号的图示。




图 1 一维线性孔径所接收到的信号

孔径的响应是频率和入射方向的函数，被称为Directivity Pattern 或beam pattern。通过求解波动方程可以推导出，Directivity Pattern 与孔径函数为傅里叶变化关系。远场条件下接收孔径的Directivity Pattern可以表示为



Fr{.} 是三维的傅里叶变换，



是一个点在孔径上的空间位置。



是波的方向矢量，θ和φ的含义见图 2。




图 2 球坐标系

1.3.3. 线性孔径

为了获得Directivity Pattern 的一些特性。我们把问题简化为沿着x轴方向的一维线性孔径，孔径长度L，如图 3所示。




图 3 一维线性孔径

在这种情况下



Directivity Pattern 简化为



这里



如果我们将上面式子用θ和φ来表达，则有



上面表达式是在平面波假设的条件下得到的，因此只适用于远场条件。对于线性孔径，当满足下面条件时可以认为满足远场条件。



考虑一个简单情况：线性孔径，孔径函数不随频率位置变化。因此，孔径函数可以写为：



其中



获得的Directivity Pattern为



这个傅里叶变换的结果非常有名



其中



图 4给出了均匀孔径函数和相应的Directivity Pattern的图形。从图中我们可以看出Directivity Pattern的零点分布在

，m 为整数。Directivity Pattern 中范围在

之间的区域被称为主瓣(main lobe)，主瓣的范围被称作波束宽度(beam width)。因此，我们看到线性孔径的波束宽度为

，也可以写为

。我们注意到一个很重要的特性，波束宽度反比于 f×L。因此，对于一个固定的孔径长度，频率越高，波束宽度越窄。




图 4 均匀孔径函数和Directivity Pattern

通常我们考虑孔径的归一化的Directivity Pattern，因为归一化后可以反映不同角度入射的声波的相对响应。因为sinc 函数满足

，Directivity Pattern最大的可能值为

，因此归一化的Directivity Pattern为



用θ和φ来表达，则有



在水平方向上，可以表示为



图 5 给出了不同的

的条件下水平面上Directivity Pattern的极坐标表示。




图 5 水平面上Directivity Pattern的极坐标表示



虽然理论上来说Directivity Pattern的参数可以取任何值，但是实际上

，被限定到

。这个区间被称为孔径的可见区域。我们考虑水平方向的Directivity Pattern，这种情况下

。

对应的是

和

，这时声源在孔径的侧面。

对应

和

，也就是声源正对着孔径。