对称矩阵（Symmetric Matrices）

如果矩阵满足

，则矩阵P称为对称矩阵，对称矩阵有很多优秀的属性，可以说是最重要的矩阵。

1.对称矩阵的对角化

如果一个矩阵有n个线性无关的特征向量，则矩阵是可对角化的，矩阵可表示成

，相应的

。因为

，很有可能A的逆等于A的转置。同样的，就可能有

，这可发现S中的特征向量和其他的特征向量正交，后文会进行证明。
我们把上的S成为正交矩阵Q，Q满足

，Q中的每一个列向量为单位特征向量。每一个对阵矩阵都可以被分解成

：

2.对称矩阵的性质

1.对阵矩阵的特征值为实数。



2.对阵矩阵的特征向量相互正交。

3.谱分解

先看一个例子：



上面例子是矩阵的另一种分解形式，把矩阵A分解成了两个投影矩阵的线性组合。

下面介绍下什么是投影矩阵，如果一个方阵满足

，我们矩阵P为投影矩阵。
现在我们有两个投影矩阵P1和P2，显然满足

。



任意给定一个3维列向量b=（x,y,z），通过P1矩阵后得到列向量p1=（0,0,z），可以发现矩阵P把所有的向量都投影到了Z轴上面。



同样的P2把所有的向量都投影到xy平面上。



这里补充一个知识，如果想把向量投影到一条直线上，如何得到投影矩阵。给出一个最简单的方法，如果u是这条直线的单位方向向量，则投影矩阵P=uuT。详细的投影介绍见wikip。

现在重新回到谱分解，现在考虑n*n的对阵矩阵，肯定存在n和投影矩阵

，可以把矩阵A看成n个投影矩阵的线性组合，这个就是谱分解。

4.主元和特征值的关系

主元和特征值不同，但是他们又一定的联系:
1.对于所有矩阵，主元的乘积=特征值的乘积=矩阵的行列式
2.对于对称矩阵，主元和特征值有相同的符号，即正主元的个数和正特征值的个数相同，但是非对称矩阵不满足，下面是两个例子。

5.对角性

如果一个矩阵A的特征值都不相同，它的特征向量肯定线性无关，则A是可以对角化的。如果一个矩阵存在相同的特征值，对于非对称矩阵会导致特征向量不足，无法对角化；但对于对称矩阵，即使存在相同的特征值，矩阵仍然可以对角化。（在这就不做证明了）

6.Reference

《A Introduction to Linear Algebra》   GILBERT STRANG