[物理学与PDEs]第1章第5节 Maxwell 方程组的数学结构, 电磁场的波动性 5.3 电磁场的波动性, 自由电磁波

1. 由 Maxwell 方程组易知 $$\beex \bea \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf E} }{\p t^2}-\lap{\bf E} &=-\sex{\cfrac{1}{\ve_0}\n\rho+\mu_0\cfrac{\p {\bf j} }{\p t}},\\ \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf B} }{\p t^2}-\lap{\bf B} &=\mu_0\rot{\bf j}. \eea \eeex$$ 于是

(1) ${\bf E} $, ${\bf B} $ 以波的形式运动变化, 而电荷及电流作为非齐次项为它们的源, 可以激发或者吸收电磁波.

(2) 在真空中电磁波的传播速度为 $c$.

(3) 电磁波可以脱离电荷与电流而独立存在, 而可考虑自由电磁波 $$\beex \bea \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf E} }{\p t^2}-\lap{\bf E} &={\bf 0} ,\\ \cfrac{1}{c^2}\cfrac{\p^2{\bf B} }{\p t^2}-\lap{\bf B} &={\bf 0}. \eea \eeex$$

2. 平面电磁波解: 形如 $$\bee\label{1. 5. 3:plane} {\bf E} ={\bf E} _0e^{i({\bf k} \cdot {\bf r} -\omega t+\tt)},\quad {\bf B} ={\bf B} _0e^{i({\bf k} \cdot {\bf r} -\omega t+\tt)}. \eee$$ 这里, 取实部或虚部作为电场强度、磁场强度. 由物理解释知

(1) 频率 $\nu$, 圆频率 $\omega=2\pi \nu$, 周期 $T=\cfrac{1}{\nu}=\cfrac{2\pi}{\omega}$, 波长 $\lm=\cfrac{\omega T}{k}$.

(2) 波向量 ${\bf k} $: 波传播的方向.

(3) 将 \eqref{1. 5. 3:plane} 代入 Maxwell 方程组得 $$\bex {\bf k} \cdot {\bf E} =0,\quad {\bf B} _0=\cfrac{1}{\omega}{\bf k} \times {\bf E} _0. \eex$$ 因此, 电场、磁场的振动方向都与波的传播方向垂直, 故电磁波为横波. 而称 $$\bex \Div{\bf E} =0,\quad \Div {\bf B} =0 \eex$$ 为横波条件. 满足横波条件的场叫横场.