Unique Binary Search Trees（C语言）解题方法

遇到这个问题后，作为在算法道路上刚刚起步的初学者，我还是感觉很棘手，考虑过这个问题是否符合归纳法或者可以用一般递归的思想解决，但都无果，只好在网上搜索相关解题思路，代码是有的，不过大神们都不愿意详细讲解具体的思路，我在研究之后，有了自己的浅显的理解，也算是在别人的帮助下解决了这个问题吧。

首先很容易理解的是，在节点个数为1,2，甚至3的情况下，组合的方法分别为1、2、5种，那么随着节点数的增加，组合的方法并无规律可循，但是可以用动态规划的思想来解决，基于我们对n=1,2,3的了解，当n=4时，首先，我们要拿出一个根节点，那么剩下的问题就是如何对根节点的左右子树进行规划，在n=4的情况下，左右子树共有{0,3}、{1,2}、{2,1}、{3,0}四种组合方法，且任何一种组合方法中左右子树包含节点的各数都是一个重复的子问题，且该子问题我们已经有直接的答案（节点数为1,2,3），每一种组合所产生的树为左右子树个数相乘，如{2,1}构成的左右子树，共有能产生2*1种二叉树。将每种组合共可以产生的树的个数相加，即是n=4时的全部可能的树的个数。而值得注意的是子树节点数为0的情况，事实上当一边子树节点数为0，则树的个数只由另一边子树决定，即1*另一边个数。同理可推导n=5，6,7,...。

因此我们可以用一个数组存储节点数为n时，能够产生的树的个数。假设数组中已经存了1-n个节点情况下的结果，那么再求n+1情况时，首先要考虑子树的组合情况，同时要考虑每一种组合下，共产生的二叉树的个数，因此使用两个循环嵌套，大循环计算组合数，小循环计算每种组合的树的个数。

代码如下：

int numTrees(int n) 
{	//n=1,2时，直接返回结果
	if (n == 1)
		return 1;
	if (n == 2)
		return 2;
	//使用数组记录全部的解
	int *record = new int[n+1];
	record[0] = 1;
	record[1] = 1;
	record[2] = 2;
	
	for (int i = 3; i <=n; i++)
	{
		int tem = 0;//记录每种组合时产生的树的个数
		for (int j = 0; j<i; j++)
		{
			tem += record[j] * record[i-j-1];
		}
		record[i] = tem;//存入数组中，作为节点为i时的解
	}
	int rlt = record
;
	delete[] record;
	return rlt;
}