重新开始战斗13-编程之美-最大公约数问题
2014-03-26 10:00
357 查看
问题描述:
求两个整数的最大公约数,如果这两个数很大,算法该如何改
分析与解法一:
欧几里得算法——辗转相除,这是很经典的求最大公约数问题,其原理描述如下:两个数x,y,x>y,则x=ky+b,如果一个数m能整除x与y,即x/m没有余数,y/m没有余数,则x/m=ky/m+b/m,所以,b/m是没有余数的,这说明x,y若能被m整除,则y,b也能被m整除,这就是辗转的原理。
分析与解法二:
欧几里得算法的原理是除,要知道,除是很消耗CPU的时钟的,所以有必要进行进一步的改进。从欧几里得算法可以得到启发,若x,y都能被m整除,可以很容易得到结论,x-y,y都能被m整除,那么不断辗转相减,就可以得到最后的最大公约数。
这个算法,免去了大整数除法的繁琐,但是也有不足之处。例如遇到(100000000000,1)这种情况就不好了。
分析与解法三:
第三种解法利用上面两种解法,通俗的讲,每一次的迭代,该用减法还是除法,根据上一步的迭代结果而定。
具体的讲,算法改进的目标是:1)尽量减小迭代次数;2)尽量少用除模运算。
有趣的是用除模运算可以大幅度减小迭代的次数,但是这与尽量少用除模运算想矛盾,因此,算法的目的在于在除模与减法运算之间找到一个平衡点。
注意以下两点性质:
1) 若(x,y)能被m整除,那么f(x,y)=m(x/m,y/m);
2) 若x=p*x1,且p为素数,不能整除y,那么f(x,y)=f(px1,y)=f(x1,y)。
关键在于第二点,一个数x如果可以分解为一个素数p和另一个数相乘x1,且这个y%p不等于0,那么x1与y的最大公约数等于x与y,这是一个很好的用除法减小迭代次数的方法。那么如何知道一个数是否能被一个素数相除?
应该想到2是一个素数,能不能被2整除,也就是进行奇偶判定。因此,算法的思路如下:
1)x,y为偶数,f(x,y)=2f(x>>1,y>>1)
2)x为偶,y为奇,f(x,y)=f(x>>1,y)
3)x为奇,y为偶,f(x,y)=f(x,y>>1)
4)x,y为奇,f(x,y)=f(x-y,y)
求两个整数的最大公约数,如果这两个数很大,算法该如何改
分析与解法一:
欧几里得算法——辗转相除,这是很经典的求最大公约数问题,其原理描述如下:两个数x,y,x>y,则x=ky+b,如果一个数m能整除x与y,即x/m没有余数,y/m没有余数,则x/m=ky/m+b/m,所以,b/m是没有余数的,这说明x,y若能被m整除,则y,b也能被m整除,这就是辗转的原理。
分析与解法二:
欧几里得算法的原理是除,要知道,除是很消耗CPU的时钟的,所以有必要进行进一步的改进。从欧几里得算法可以得到启发,若x,y都能被m整除,可以很容易得到结论,x-y,y都能被m整除,那么不断辗转相减,就可以得到最后的最大公约数。
这个算法,免去了大整数除法的繁琐,但是也有不足之处。例如遇到(100000000000,1)这种情况就不好了。
分析与解法三:
第三种解法利用上面两种解法,通俗的讲,每一次的迭代,该用减法还是除法,根据上一步的迭代结果而定。
具体的讲,算法改进的目标是:1)尽量减小迭代次数;2)尽量少用除模运算。
有趣的是用除模运算可以大幅度减小迭代的次数,但是这与尽量少用除模运算想矛盾,因此,算法的目的在于在除模与减法运算之间找到一个平衡点。
注意以下两点性质:
1) 若(x,y)能被m整除,那么f(x,y)=m(x/m,y/m);
2) 若x=p*x1,且p为素数,不能整除y,那么f(x,y)=f(px1,y)=f(x1,y)。
关键在于第二点,一个数x如果可以分解为一个素数p和另一个数相乘x1,且这个y%p不等于0,那么x1与y的最大公约数等于x与y,这是一个很好的用除法减小迭代次数的方法。那么如何知道一个数是否能被一个素数相除?
应该想到2是一个素数,能不能被2整除,也就是进行奇偶判定。因此,算法的思路如下:
1)x,y为偶数,f(x,y)=2f(x>>1,y>>1)
2)x为偶,y为奇,f(x,y)=f(x>>1,y)
3)x为奇,y为偶,f(x,y)=f(x,y>>1)
4)x,y为奇,f(x,y)=f(x-y,y)
相关文章推荐
- 编程之美-2.7、最大公约数问题
- C++基础编程 最大公约数问题
- 读书笔记之编程之美 – 2.7 最大公约数问题
- 重新开始战斗15-编程之美-求数组的子数组之和的最大值
- 编程之美-2.7最大公约数问题java解法
- 重新开始战斗02-编程之美-烧饼问题
- 重新开始战斗03-编程之美-买书问题
- 重新开始战斗04-编程之美-寻找ID问题
- 重新开始战斗06-编程之美-电梯调度问题
- 编程之美--最大公约数问题
- 编程之美--最大公约数问题--递归和非递归
- 编程之美-最大公约数问题方法整理
- 编程之美-2.7-最大公约数问题
- 编程之美--2.7 最大公约数问题
- 【编程之美】2.7最大公约数问题
- 编程之美 2.7 最大公约数 扩展问题之逆转一个整数的二进制表示
- 编程之美_007最大公约数问题
- 编程之美---最大公约数问题
- 编程之美___最大公约数问题
- [编程之美] PSet2.7 最大公约数问题