可并堆——左偏树 Leftist Heap

今天学习了左偏树，这是一个好理解而且好写的数据结构，和二叉堆一样可以在O（1）时间内取出优先级最高的值，O（logn）时间内删除优先级最高的值，不同的是如果要合并两个堆那么二叉堆就只能跪了。而左偏树能在O（logn）的时间内实现两个堆的合并。

左偏树有两个重要的性质，

1、树中每个元素小于或大于其父亲节点的值（堆性质）

2、定义节点的距离为当前节点向下到叶子节点最少所需的边数，叶子节点的距离为0,空节点的距离是-1，令dist[i]表示i节点的距离，那么dist[i]=dist[right[i]]+1;dist[left[i]]>=dist[right[i]]，所以左偏树的左右子树都是左偏树。

如下图就是一颗左偏树



左偏树最核心操作就是【合并】。删除最大，插入都可由合并得到

假如我们要构造最小堆

Merge(A,B)表示合并A和B

假如A或B中的一个为空返回另一棵树即可

否则，若A根节点小于B的根节点（否则把A和B交换），把A的根作为新的树的根然后Merge(right(A),B)即可

由于Merge过程中性质（2）可能被破坏，那么把左子树和右子树交换重新计算dist即可

C++ Code：

Lheap* merge(Lheap* a,Lheap *b){
if(a==NULL)return b;
if(b==NULL)return a;
if(b->val>a->val)swap(a,b);
a->r=merge(a->r,b);
if(dis(a->l)<dis(a->r))swap(a->l,a->r);
a->dis=dis(a->r)+1;
return a;
}

插入操作很简单，把插入的点看做看做一个左偏树，直接Merge即可

删除最小也很简单，先Merge(left(A),right(A)),再删除原来的根就行

查询即为根节点的值

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题目：HDOJ 1512 Monkey King

题目大意：有N个数字，初始情况，每个数字单独构成一个集合，每次把X，Y所在集合的最大值除以2，然后合并X和Y所在集合，询问新集合的最大值，若XY本身就在同一集合输出-1

做法：并查集+左偏树维护即可

Code C++:

Accepted

1512

1046MS

16180K

1627 B

G++

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define MAXN 100001
using namespace std;
struct Lheap{
int val,dis;
Lheap *l,*r;
};
Lheap* tree[MAXN];
int fa[MAXN];
void init(Lheap* &t,int val){
t=new Lheap;
t->val=val;
t->l=t->r=NULL;
t->dis=0;
}
int findset(int x)
{
int y,root,t;
y=x;
while(y!=fa[y])y=fa[y];
root=y;
y=x;
while(fa[y]!=y){
t=fa[y];
fa[y]=root;
y=t;
}
return root;
}
int Union(int x,int y){
int fx=findset(x);
int fy=findset(y);
if(fx==fy)return -1;
fa[fx]=fy;
return fy;
}
int dis(Lheap *a){return (a)?(a->dis):(-1);}
Lheap* merge(Lheap* a,Lheap *b){
if(a==NULL)return b;
if(b==NULL)return a;
if(b->val>a->val)swap(a,b);
a->r=merge(a->r,b);
if(dis(a->l)<dis(a->r))swap(a->l,a->r);
a->dis=dis(a->r)+1;
return a;
}
Lheap* delmax(Lheap *a){
if(!a)return NULL;
return merge(a->l,a->r);
}
int solve(int fx,int fy){
Lheap *t1,*t2,*t3,*t4;
init(t1,tree[fx]->val/2);
t3=delmax(tree[fx]);
t3=merge(t1,t3);
init(t2,tree[fy]->val/2);
t4=delmax(tree[fy]);
t4=merge(t2,t4);
fy=Union(fx,fy);
tree[fy]=merge(t3,t4);
return tree[fy]->val;
}
int main()
{
//freopen("gen.out","r",stdin);
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
for(int i=1;i<=n;i++){
int atk;
scanf("%d",&atk);
fa[i]=i;
init(tree[i],atk);
}
int que;
scanf("%d",&que);
while(que--){
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
int fx=findset(x),fy=findset(y);
if(fx!=fy)printf("%d\n",solve(fx,fy));
else printf("-1\n");
}
for(int i=1;i<=n;i++)delete tree[i];
}
return 0;
}