【LCA】最近公共祖先问题Lowest Common Ancestors

昨天集训出了一道LCA的题目，我只会写暴力然后不知道为啥崩栈了，然后想起了去年NOIP Day1 T3 也是不会LCA就废了，然后就没有然后了.....于是我今天学习了各种LCA的做法。

LCA：对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。——百度百科

举个例子：



3和4节点的LCA就是2，2和6号节点的LCA是1，5和6的LCA就是5.
暴力求LCA的方法：
对树进行遍历求出每个节点的深度，如下图：



求任意两个节点的LCA，先把深度大的沿父亲移到同样的深度，若两个节点不是同一个结点就把两个结点同时向父亲移，最后结点相同得到的就是LCA。
举上图的例子，求3结点和5结点的LCA就，3结点深度大于5，先跳到2结点，两结点不同，继续跳，两节点都跳到1结点，1就是他们的LCA。
Code C++：

void dfs(int p,int dth){//对树进行遍历求深度
dep[p]=dth;
for(int i=first[p];i;i=e[i].next){
if(!dep[e[i].p]){
father[e[i].p]=p;
val[e[i].p]=e[i].l;
dfs(e[i].p,dth+1);
}
}
}
int lca(int x,int y){
while(dep[x]>dep[y])x=father[x];
while(dep[x]<dep[y])y=father[y];
while(x!=y){x=father[x];y=father[y];}
return x;
}

暴力求一次LCA时间复杂度是O（树的深度）的，显然对于大数据会挂，那怎么办呢。

我们有LCA+RMQ（区间最值）的倍增在线算法
记得求区间最值的ST算法吗？？？

min[i][j]=min(min[i][j-1],min[i+(1<<(j-1))][j-1]);

类似地，我们可以利用倍增的算法求出 i 结点往上的第 2^j 个结点是谁

另fa[i][j]为i结点往上跳2^j的结点编号
易得fa[i][j]=fa[ fa[ i ][ j-1 ] ][ j-1 ]（i结点往上跳2^(j-1)下再跳2^(j-1)就是i结点往上跳2^j的结果）
我们就能在O(nlogn)的时间预处理出这个东西
然后对每一个LCA的查询，还是先跳到相同深度，不过这次类似于二分查找地在logn的时间跳到相同深度结点，再把两个结点一起跳到使两个结点不同的最后两个结点，最终LCA就是fa[i][0].
时间复杂度：预处理O（nlogn）、一次查询(logn)
具体实现看下面代码。
我们先来看看2013Noip day1 T3 Trunk（Wikioi3282）
题目大意：给一个图，求最大生成树，询问生成树上两个结点路径上最小的边权，若两点不可达输出-1。
题解：先求最大生成树，然后对生成树dfs，并进行倍增同时记录g[i][j]表示以i为结点到i往上2^j个结点之间的最小边权，直接回答询问即可。
C++代码：

3287 货车运输NKWBTB

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4296kb

C++

2068B

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define MAXM 50001
#define MAXN 10001
#define DA 17
//DA开到2^n比N大就行
using namespace std;
int first[MAXN],father[MAXN],ct=1,fa[MAXN][DA],lth[MAXN][DA],dep[MAXN];
//father为并查集数组，fa是结点父亲倍增数组，lth为最小边权记录数组，dep为深度数组
struct edge{
int p,next,l;
void add(int u,int v,int val){
p=v;
next=first[u];
l=val;
}
}e[MAXM],line[MAXM*2];
bool cmp(const edge &a,const edge &b){return a.l>b.l;}
int findset(int x){
if(x!=father[x])father[x]=findset(father[x]);
return father[x];
}

bool Union(int x,int y){
int fx=findset(x);
int fy=findset(y);
if(fx==fy)return false;
father[fx]=fy;
return true;
}
void dfs(int p,int dth){
dep[p]=dth;
for(int i=first[p];i;i=e[i].next){
if(!fa[e[i].p][0]){
fa[e[i].p][0]=p;
lth[e[i].p][0]=e[i].l;
dfs(e[i].p,dth+1);
}
}
}
//对树进行遍历预处理出深度，初始化边权数组和倍增数组
int query(int u,int v){
int len=0x7fffffff;
if(dep[u]<dep[v])swap(v,u);
for(int i=DA-1;i>=0;i--)//将两结点跳到同样深度同时更新最小边权大小
if(dep[fa[u][i]]>=dep[v]){
len=min(len,lth[u][i]);
u=fa[u][i];
}
if(u!=v){//两节点同时跳到最后不同的两个结点
for(int j=DA-1;j>=0;j--)
if(fa[u][j]!=fa[v][j]){
len=min(len,min(lth[u][j],lth[v][j]));
u=fa[u][j];v=fa[v][j];
}
len=min(len,min(lth[u][0],lth[v][0]));
}
return len;
}
//查询
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d%d%d",&line[i].p,&line[i].next,&line[i].l);
sort(line,line+m,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)father[i]=i;
int cnt=0;
for(int i=0;i<m;i++){
if(Union(line[i].p,line[i].next)){
++cnt;
e[ct].add(line[i].p,line[i].next,line[i].l);
first[line[i].p]=ct++;
e[ct].add(line[i].next,line[i].p,line[i].l);
first[line[i].next]=ct++;
}
if(cnt==n-1)break;
}
for(int i=1;i<=n;i++)if(!fa[i][0]){lth[i][0]=0x7fffffff;fa[i][0]=i;dfs(i,1);}
//对树进行预处理
for(int i=1;i<DA;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
lth[j][i]=min(lth[j][i-1],lth[fa[j][i-1]][i-1]);
}
}
//倍增预处理
int q;
scanf("%d",&q);
while(q--){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
if(findset(u)!=findset(v)){printf("-1\n");continue;}
printf("%d\n",query(u,v));
}
return 0;
}

//其实这题有更好的做法，详情请移步http://blog.csdn.net/nkwbtb/article/details/21883807

如果查询不要求强制在线的话可以有离线的tarjan算法

时间复杂度为O（n+q）
参考文章： http://en.wikipedia.org/wiki/Tarjan%27s_off-line_lowest_common_ancestors_algorithm http://scturtle.is-programmer.com/posts/30055.html 这个算法思想大概是这样的
先把询问都存储下来
在遍历树的时候，维护一个并查集，当遍历原来树的一个子树的时候，把子树中的所有元素并为一个集合，把集合的根指向为子树的根，
那么我可以回答已经遍历过的点与子树跟的LCA询问，若询问点没有遍历过那么先放在一边不管。
例：



箭头表示当前遍历到的结点，相同颜色的点表示已经并入同一集合，如题，现在遍历到点6，回答与结点6有关的询问，假若询问3和6号点的LCA 先检查3号点是否遍历过，然后答案为3所在并查集的祖先，也就是1号点。

又来一题：
WIKIOI 1036
题目大意：给一棵树，给定结点顺序，求从根节点按结点顺序走的最终距离是多少，其中每条边的长度都是1.
解法：显然求相邻点的LCA，然后他们之间的距离就是i到根的距离+j到根的距离-2*LCA到根的距离，累加得到答案即可。
代码：

1036 商务旅行NKWBTB

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100

»

55ms

3008kb

C++

1252B

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#define MAXN 30001
using namespace std;
int first[MAXN],fa[MAXN],ct=1,anc[MAXN],lth[MAXN],ans=0;
bool vis[MAXN];
struct edge{
int p,next;
void add(int u,int v){
p=v;
next=first[u];
}
}e[MAXN*2];
vector<int>vec[MAXN];
vector<int>::iterator it;
int findset(int x){
if(x!=fa[x])fa[x]=findset(fa[x]);
return fa[x];
}
bool Union(int x,int y){
int fx=findset(x);
int fy=findset(y);
if(fx==fy)return false;
fa[fx]=fy;
return true;
}
void tarjan(int p,int f,int l){
fa[p]=p;lth[p]=l;//处理距离
for(int i=first[p];i;i=e[i].next){
if(!fa[e[i].p]&&e[i].p!=f){
tarjan(e[i].p,p,l+1);
Union(p,e[i].p);//合并子树结点到并查集中
anc[findset(p)]=p;//并查集根指向子树根节点
}
}
vis[p]=true;
for(it=vec[p].begin();it!=vec[p].end();it++){//回答与p相关询问
if(vis[*it])ans+=lth[p]+lth[*it]-2*lth[anc[findset(*it)]];
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
e[ct].add(u,v);
first[u]=ct++;
e[ct].add(v,u);
first[v]=ct++;
}
int s=1,t,q;
scanf("%d",&q);
while(q--){//存储询问
scanf("%d",&t);
vec[s].push_back(t);
vec[t].push_back(s);
s=t;
}
tarjan(1,1,0);
printf("%d",ans);
return 0;
}

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P.S.：以前XTC大神讲过noip 2013 day1 t3 可以tarjan做，可是我想了很久还是不会。。。。。。求大神指点