样本方差的无偏估计与（n-1）的由来

原文出处： http://blog.sina.com.cn/s/blog_c96053d60101n24f.html

在PCA算法中用到了方差，协方差矩阵，其中方差公式为，协方差矩阵公式为，当时不明白为什么除的不是m，而是m-1，那么想要知道为何，下面就是你想要的答案。

假设X为独立同分布的一组随机变量，总体为M，随机抽取N个随机变量构成一个样本，

和

是总体的均值和方差, 是常数。

是对样本的均值和方差，由于样本是随机抽取的，

也是随机的。

既然是随机变量，就可以观察他们的均值方差。



这里需要注意的是，由于样本是随机的，所以X1，X2，X3...都是随机的。上式中可以看出，样本均值这个变量的期望就是总体的均值，因此可以说均值是无偏的。

接下来看样本方差的均值：



根据方差公式，可以得到：



因此：



这里可以看出样本方差的期望并不是无偏的，要无偏估计，应该再乘上一个系数：

所以无偏估计的样本的方差：


。

n-1既为自由度，就是说，在一个容量为n的样本里，当确定了n-1个变量以后，第n个变量就确定了，因为样本均值是无偏的。

协方差除以m-1原理和方差一样，因为方差为协方差的特殊情况。