lightoj1045 - Digits of Factorial(数论)

题目地址: http://lightoj.com/volume_showproblem.php?problem=1045

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Factorial of an integer is defined by the following function

f(0) = 1

f(n) = f(n - 1) * n, if(n> 0)

So, factorial of 5 is 120. But in different bases, the factorial may be different. For example, factorial of 5 in base 8 is 170.

In this problem, you have to find the number of digit(s) of the factorial of an integer in a certain base.

Input

Input starts with an integer T (≤ 50000), denoting the number of test cases.

Each case begins with two integers n (0 ≤ n ≤ 106) andbase (2 ≤ base ≤ 1000). Both of these integers will be given in decimal.

Output

For each case of input you have to print the case number and the digit(s) of factorial n in the given base.

Sample Input

5
5 10
8 10
22 3
1000000 2
0 100

Output for Sample Input

Case 1: 3
Case 2: 5
Case 3: 45
Case 4: 18488885
Case 5: 1

本题的大概题意是说，N是十进制的数，求N！在K进制下的位数。

N的范围虽然不大，才10^6，但是N！却大得惊人。如果直接求N的阶乘，转化为K进制的数再统计位数，理论上运用高精度

算法行得通。但是时间只有2s，就肯定过不了。看了Forum才知道有一种很高效的解法。

计算N！在K进制下的位数，即计算 [ log(1)+log(2)+...+log(N) ]+1 其中log的底数都是K。在此要先了解计算机是怎么表示对数的。计算机的log默认为自然对数，即以e为底。 或者log10(a)， 就是以10为底，其他的都得通过换底公式来表示。

loga(b)=logc(b)/logc(a)



N！在十进制下的位数就是 log10 ( N ! ) +1 ( 自己找个数验证 ) ，N！在K进制下的位数就是 logK( N ! ) +1 ( K 为底数 )，而计算机不能直接以K为底求对数。所以运用换底公式， logK( N ! ) = log( K ) / log ( N！) ，注意，等号右边的 log 都是默认以e为底。

正式进入解题了，题目给出N，K，如果每一次输入N，K 都要计算 N！的话，那就有很大的开销，开销为O(N)。

所以可以采取一种办法，先预处理，用double数组 sum[ 1000000 ] 把 log ( N ! ) 存起来。数组 应该够的，需要说的是定义大数组尽量放到外面，这样比较妥当，要不运行时会出错。

用sum [ i ] 表示 log（1 ）+log（2）+。。。+log（i） ， 这样时间开始时花费O（N），之后每次花费O（1），等输入的时候用换底公式处理一下就得到答案了。

具体代码如下：

<span style="font-size:18px;">#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string.h>
using namespace std;
double sum[1000008];

int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
double res;
int Case, n, a, i;
int num = 1;
memset(sum, 0, sizeof(sum));
for(i = 1; i < 1000008; i++)
sum[i] = sum[i-1]+log(i);
scanf("%d", &Case);
while(Case--)
{
scanf("%d %d", &n, &a);
if(n == 0) printf("Case %d: 1\n", num++);
else
{
res = sum
;
res = res/log(a)+1;
printf("Case %d: %d\n", num++, (int)res);
}
}
return 0;
}
</span>

糊里糊涂写了一堆，参考了别人的代码才AC的，希望能帮助到各位。 Hope it help！

如果不足，还望指出。

2014，继续AC。