编程之美————24点游戏算法

一，概述

二十四点是一种益智游戏，它能在游戏中锻炼人们的心算，它往往要求人们将四个数字进行加减乘除（允许使用括号）求得二十四。然后将四个数字的计算公式表示出来。

二，中缀表达式求解

最直接的方法就是采用穷举法，游戏中可用的运算符只有四种，四个数字每个只能使用一次。

1）不考虑括号情况

4个数全排列：4！=24种

需要三个运算符，且运算符可以重复：4*4*4=64

总计：1536

2）考虑括号（是个难点）

自己想的加括号：四个数有五种加括号方式： (AB)CD 、 AB(CD)、 A(BC)D 、 A((BC)D) 、 (AB)(CD)、A(B(CD))

错误点：这里添加括号的时候，需要把四个数都看成相乘。需要加两个括号来列举比较直观

AB(CD) = (AB)(CD)

改正后：((AB)C)D 、 (AB)(CD) 、 (A(BC))D 、 A((BC)D) 、A(B(CD))

四个运算数五种不同加括号方式的由来。这是一个经典的Catalan数问题。

这个经典Catalan数问题在组合数学教材上都能找到。原题目是：n 个数相乘, 不改变它们的位置, 只用括号表示不同的相乘顺序，令g(n)表示这种条件下构成不同乘积的方法数，令C(n)表示第n个Catalan数。则有g(n)=C(n-1)。前几个Catalan数为：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。

根据Catalan数的计算公式，有g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。

Catalan数的计算公式也同时提供了构造答案的方法。对于4个数，中间有3个位置，可以在任何一个位置一分为二，被分开的两半各自的加括号方案再拼凑起来就得到一种4个数的加括号方案：

一个数时：(A)，一种

两个数：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一种

三个数：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，两种

四个数：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)

=(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)

=A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D

共有五种。于是写代码枚举这五种加括号的方式即可。这种方法只是一种能得到正确答案的方法，扩展性和效率都极差。而且生成的表达式中也有冗余括号。

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#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

const double Threshold = 1E-6;

const int CardsNumber = 4;

const int ResultValue = 24;

double number[CardsNumber];

string result[CardsNumber];

bool PointsGame(int n)

{

if(n == 1)

{

// 由于浮点数运算会有精度误差，所以用一个很小的数1E-6来做容差值

// 本书2.6节中讨论了如何将浮点数转化为分数的问题

if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)//结果等于24

{

cout << result[0] << endl;//输出表达式

return true;

}

else

{

return false;

}

}

for(int i = 0; i < n; i++)//第一个数(计算时被两个数结果替换)

{

for(int j = i + 1; j < n; j++)//第二个数(计算时候被最后一个数替换)

{

double a, b;//存放计算的数

string expa, expb;//存放表达式中两个数

a = number[i];

b = number[j];

number[j] = number[n - 1];//去除第二个数

expa = result[i];

expb = result[j];

result[j] = result[n - 1];//表达式去除

result[i] = '(' + expa + '+' + expb + ')';

number[i] = a + b;//去除第一个数

if(PointsGame(n - 1))

return true;

result[i] = '(' + expa + '-' + expb + ')';

number[i] = a - b;

if(PointsGame(n - 1))

return true;

result[i] = '(' + expb + '-' + expa + ')';

number[i] = b - a;

if(PointsGame(n - 1))

return true;

result[i] = '(' + expa + '*' + expb + ')';

number[i] = a * b;

if(PointsGame(n - 1))

return true;

if(b != 0)

{

result[i] = '(' + expa + '/' + expb + ')';

number[i] = a / b;

if(PointsGame(n - 1))

return true;

}

if(a != 0)

{

result[i] = '(' + expb + '/' + expa + ')';

number[i] = b / a;

if(PointsGame(n - 1))

return true;

}

number[i] = a;//将本次循环的结果消除，继续测试下一对数

number[j] = b;

result[i] = expa;

result[j] = expb;

}

}

return false;

}

int main()

{

int x;

for(int i = 0; i < CardsNumber; i++)

{

char buffer[20];

cout << "the " << i << "th number:";

cin >> x;

number[i] = x;

itoa(x, buffer, 10);

result[i] = buffer;

}

if(PointsGame(CardsNumber))

{

cout << "Success." << endl;

}

else

{

cout << "Fail." << endl;

}

}

三，分支限界法求解

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#include <iostream>

#include <set>

#include <string>

#include <cmath>

using namespace std;

#define N 4 // 4张牌，可变

#define RES 24 // 运算结果为24，可变

#define EPS 1e-6

struct Elem

{

Elem(double r, string& i):res(r),info(i){}

Elem(double r, char* i):res(r),info(i){}

double res; // 运算出的数据

string info; // 运算的过程

bool operator<(const Elem& e) const

{

return res < e.res; // 在set的红黑树插入操作中需要用到比较操作

}

};

int A
; // 记录N个数据

// 用二进制数来表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3个数

set<Elem> vset[1<<N]; // 包含4个元素的集合共有16个子集0-15

set<Elem>& Fork(int m)

{

// memo递归

if (vset[m].size())

{

return vset[m];

}

for (int i=1; i<=m/2; i++)

if ((i&m) == i)

{

set<Elem>& s1 = Fork(i);

set<Elem>& s2 = Fork(m-i);

set<Elem>::iterator cit1;

set<Elem>::iterator cit2;

// 得到两个子集合的笛卡尔积，并对结果集合的元素对进行6种运算

for (cit1=s1.begin(); cit1!=s1.end(); cit1++)

for (cit2=s2.begin(); cit2!=s2.end(); cit2++)

{

string str;

str = "("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";

vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));

str = "("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";

vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));

str = "("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;

vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));

str = "("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";

vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));

if (abs(cit2->res)>EPS)

{

str = "("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";

vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));

}

if (abs(cit1->res)>EPS)

{

str = "("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";

vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));

}

}

}

return vset[m];

}

int main()

{

int i;

for (i=0; i<N; i++)

cin >> A[i];

// 递归的结束条件

for (i=0; i<N; i++)

{

char str[10];

sprintf(str,"%d",A[i]);

vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));

}

Fork((1<<N)-1);//开始1111 表示四个数

// 显示算出24点的运算过程

set<Elem>::iterator it;

for (it=vset[(1<<N)-1].begin();

it!=vset[(1<<N)-1].end(); it++)

{

if (abs(it->res-RES) < EPS)

cout << it->info << endl;

}