【01 背包问题（动态规划法解决）】

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。

动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。因为背包的最终最大容量未知，所以，我们得从1到M一个一个的试，比如，刚开始任选N件物品中的一个，看对应的M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多少空间，则，多出来的空间能放N-1物品中的最大价值，怎么能保证总选则是最大价值呢，看下表：

测试数据：

10,3

3,4

4,5

5,6

这里i 表示放入物品的个数，j表示背包的容量。



c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

c(n,m)=max{c(n-1,m), c(n-1,m-w
)+P(n)}这就是书本上写的动态规划方程.

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前n件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前n-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前n-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[n-1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前n-1件物品放入剩下的重量为m-w
的背包中”，此时能获得的最大价值就是c[n-1][m-w
]再加上通过放入第i件物品获得的价值p
。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
int c[10][100];
int knapsack(int m,int n){
int i,j,w[10],p[10];
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);
memset(c,0,sizeof(c));/*初始化数组*/
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++){
c[i][j]=c[i-1][j];
if(w[i]<=j){/*如果当前物品的容量小于背包容量*/
if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
}
}
return (c
[m]);
}
int main(){
int m,n,i,j;
scanf("%d,%d",&m,&n);
printf("%d",knapsack(m,n));
}

一维代码转化：

for i=1..N //枚举物品
for v=V..0 //枚举容量，从大到小
f[v]=max{f[v],f[v-weight[i]] + cost[i]};

初始化：

（1）若要求背包必须放满，则初始如下：

f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时，只接受一个容积为0的物品入包。

（2）若要求背包可以空下，则初始化如下：

f[0...V] = 0 ，表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。

具体解释如下：

初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。

如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，

其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。

如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，

这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

典型例子：
/article/8239227.html

二、

可以转化为0-1背包的问题：

思想：题目就是要你均分，如果不能均分就尽量使两堆重量/票价差距最小。可以想象成有一堆物品，两个容器（容量和除以2），只要保证把其中一个容器的容积尽量加满（当然恰好能满最好），这就转化成了0，1背包问题了。代码就简单了

典型例子：

/article/8239228.html

/article/8239229.html