算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如:



算术基本定理的内容由两部分构成：

分解的存在性；

分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

证明：

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数

，则不是

，就是

。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

大于1的自然数必可写成素数之积

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设

，其中a
和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积。从而

也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

引理：若质数p|ab，则不是 p|a，就是p|b。

引理的证明：若p|a 则证明完毕。若

，那么两者的最大公约数为1。根据裴蜀定理，存在(m,n)使得ma+np=1。于是b=b(ma+np)=abm+bnp。
由于p|ab，上式右边两项都可以被p整除。所以p|b。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。

首先n 不是质数。将n 用两种方法写出：

。根据引理，质数

，所以

中有一个能被

整除，不妨设为

。但

也是质数，因此

。所以，比n小的正整数

也可以写成

。这与n
的最小性矛盾！