Codeforces Round #236 (Div. 2) E. Strictly Positive Matrix

E. Strictly Positive Matrix

time limit per test
1 second

memory limit per test
256 megabytes

input
standard input

output
standard output

You have matrix a of size n × n.
Let's number the rows of the matrix from 1 to n from
top to bottom, let's number the columns from 1 to n from
left to right. Let's use aij to
represent the element on the intersection of the i-th row and the j-th
column.

Matrix a meets the following two conditions:

for any numbers i, j (1 ≤ i, j ≤ n)
the following inequality holds: aij ≥ 0;


.

Matrix b is strictly positive, if for any numbers i, j (1 ≤ i, j ≤ n)
the inequality bij > 0 holds.
You task is to determine if there is such integer k ≥ 1, that matrix ak is
strictly positive.

Input

The first line contains integer n (2 ≤ n ≤ 2000)
— the number of rows and columns in matrix a.

The next n lines contain the description of the rows of matrix a.
The i-th line contains n non-negative
integers ai1, ai2, ..., ain (0 ≤ aij ≤ 50).
It is guaranteed that

.

Output

If there is a positive integer k ≥ 1, such that matrix ak is
strictly positive, print "YES" (without the quotes). Otherwise, print "NO"
(without the quotes).

Sample test(s)

input

2
1 0
0 1

output

NO

input

5
4 5 6 1 2
1 2 3 4 5
6 4 1 2 4
1 1 1 1 1
4 4 4 4 4

output

YES

思路分析：
图论知识，一张图的邻接矩阵描述了点与点之间的可达关系，其k次幂表示了长度为k的路径的可达性。很明确，如果存在题目要求的k，即任意两点可达，a^k 就是一张有向完全图。

解法：

图的任意点的可达性算法比较多，稍微列于下...

Floyd算法：三个循环，求解图的最短路算法，O(n^3)。

Warshall 算法：求解二元关系的传递闭包，和Floyd算法有点类似，O(n^3)。可以尝试把矩阵变成布尔矩阵，利用位运算加速计算，貌似亦可解决此题。

然而，如果仅仅纠结于可达性，这道题就基本卡死了。因为可达性算法多数都是O(n^3)，再怎么剪枝优化也几乎超时。因此，需要考虑有向完全图。

既然a^k 是有向完全图，那么对于a应该是有且仅有一个强连通分量，tarjan算法，O(|V|+|E|)，over.

总结来说：tarjan算法是深度优先搜索算法，其结果只是强联通关系，信息量少，复杂度相对较低。而可达性算法，对每两个点之间的可达性都需要做出描述，信息量大，复杂度高，因此从这一点来说，解决一个问题可以从信息量的角度去选择比较合适的算法。