01背包问题--动态规划

动态规划的基本思想：

将一个问题分解为子问题递归求解，且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解，且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列，下一步总是依赖上一步的结果，自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构，寻找子问题，对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解（若有k个变量，一般用K维的数组存储各个状态下的解，并可根 据这个数组记录打印求解过程。）。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础，如果题目只要求最优解的值，则步骤5可以省略。

背包问题

01背包: 有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包: 有N种物品和一个重量为M的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

多重背包: 有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

01背包问题：

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[i-1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[i]。

测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

# include<stdio.h>
# include<string.h>
int date[1005];
int f(int w,int s)
{
if(w==0) return 1;//正好
if(w<0||w>0 &&s==0) return 0;
if(f(w-date[s],s-1)) return 1;//退出来再选下一个
return f(w,s-1);//选择下一个
}

int main()
{
int i,Weight,n;
while(scanf("%d %d",&Weight,&n)!=EOF)
{
memset(date,0,sizeof(date));
for(i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&date[i]);
if(f(Weight,n))
printf("YES\n");
else printf("NO\n");
}
return 0;
}
}

View Code

nyoj-289

nyoj-49