时间复杂度计算实例

表示时间复杂度的阶有：

O(1) ：常量时间阶 O
(n)：线性时间阶

O(㏒n) ：对数时间阶 O(n㏒n) ：线性对数时间阶

O (nk)： k≥2 ，k次方时间阶

例１ 两个n阶方阵的乘法

for(i=1，i<=n;
++i)

for(j=1; j<=n; ++j)

{ c[i][j]=0 ;

for(k=1;
k<=n; ++k)

c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]
;

}

由于是一个三重循环，每个循环从1到n，则总次数为： n×n×n=n3　时间复杂度为T(n)=O(n3)【立方阶】

例２ {++x; s=0 ;}

将x自增看成是基本操作，则语句频度为１，即时间复杂度为Ｏ(1) 。【常量阶】

如果将s=0也看成是基本操作，则语句频度为２，其时间复杂度仍为Ｏ(1)，即常量阶。

例３ for(i=1; i<=n; ++i)

{ ++x; s+=x ; }

语句频度为：2n，其时间复杂度为：O(n) ，即为【线性阶】。

例４ for(i=1; i<=n; ++i)

　　　　for(j=1; j<=n; ++j)

{ ++x; s+=x ; }

语句频度为：n*n*2=2n2 ，其时间复杂度为：O(n2) ，即为【平方阶】。

定理：若A(n)=amnm +am-1nm-1+…+a1n+a0是一个m次多项式，则A(n)=O(nm)

例５ for(i=2;i<=n;++i)

for(j=2;j<=i-1;++j)

{++x; a[i,j]=x; }

语句频度为： 1+2+3+…+n-2=(1+n-2) ×(n-2)/2

=(n-1)(n-2)/2 =n2-3n+2

∴时间复杂度为O(n2)，即此算法的时间复杂度为【平方阶】。

一个算法时间为O(1)的算法，它的基本运算执行的次数是固定的。因此，总的时间由一个常数（即零次多项式）来限界。而一个时间为O(n2)的算法则由一个二次多项式来限界。

以下六种计算算法时间的多项式是最常用的。其关系为：

O(1) < O(㏒n) < O(n)
< O(n㏒n) < O(n2) < O(n3)

指数时间的关系为：

O(2n) < O(n!) < O(nn)

当n取得很大时，指数时间算法和多项式时间算法在所需时间上非常悬殊。

例1：素数的判断算法。

void prime( int n)

{

int i=2 ;

while ( (n%i)!=0 && i*1.0< sqrt(n) )

i++ ;

if (i*1.0>sqrt(n) )

printf(“&d 是一个素数\n”
, n) ;

else

printf(“&d 不是一个素数\n”
, n) ;

}

嵌套的最深层语句是i++；其频度由条件( (n% i)!=0 && i*1.0< sqrt(n)
)决定，显然i*1.0< sqrt(n) ，时间复杂度O(n1/2)。

或者说是O(sqrt(n))；

例2：冒泡排序法。

Void bubble_sort(int a[]，int n)

{

change=false;

for (i=n-1; change=TURE; i>1 && change; --i)

for (j=0; j<i; ++j)

if (a[j]>a[j+1])

{ a[j] ←→a[j+1] ; change=TURE ; }

}

最好情况：0次

最坏情况：1+2+3+⋯+n-1=n(n-1)/2

平均时间复杂度为： O(n2) 【平方阶】