麻省理工的 背包算法 python

折腾很长时间，这一节题目总算可以总结一下了。题目起源于麻省理工的公开课《计算机科学和编程导论》中的例题，背包问题。

原题同想证明动态规划在算法复杂度上的用途。但是题目本身我不太懂，所以程序的思路清理，成为我的障碍（数据结构掌握不好的后果）。
感谢以下作者的指导：
一块铁疙瘩：http://alorry.blog.163.com/blog/static/647257082011629102412655/
Watsy http://blog.csdn.net/watsy/article/details/9271785
原题：一个小偷进了人家，发现了很多好东西，但是背包容量有限，无法全部装下，所以就存在拿什么价值最大的问题。

weights = [2, 2, 6, 5, 4] #重量或容积列表
vals = [6, 3, 5, 4, 6] #价值列表



背包算法 python" TITLE="麻省理工的 背包算法 python" />

以下是'一块铁疙瘩‘的分析：

PS：索引即i，为w中的序号，从后往前。相当于数组中第3个元素为w[2]，第2个元素为w[1]，第一个元素为w[0]。其它长度也可依次类推。

图例解释：

最上边2，5，0意思是考虑装入w中的w[2]时背包还能装5个容量，背包中物品价值为0

往左边即不装入w[2]物品，此时考虑装入w[1]时背包中剩余容量仍为5，价值为0

往右边即装入w[2]物品，此时考虑装入w[1]时，背包中升入容量为3，背包中物品价值为8

…………依次类推。直到索引完或者背包容量为0时为止，然后找到此时背包中价值最大的那个即为最优解了。

用递归函数求解； 索引为w从末尾开始向前。按照深度优先、左优先，遍历，。然后回溯计算右子树。返回左右子树中价值大的价值，[/b]回溯。

由于递归算法产生的大量冗余计算，使得在处理较多数据时效率降低。因此引入m记录已经计算出的结果值，来减少递归运算次数，从而可以明显提高程序运行效率。

而代码的注释，则watsy的比较清晰：

（不过我还是根据铁老递的分析给改了一些，因为第一天看watsy的分析，看不懂的。）

numCount = 0

#version 1
def MaxVal1(w, v, index, last):

"""

得到最大价值

w为widght

v为value

index为索引

last为剩余重量
"""

global numCount

numCount = numCount + 1

#最底部

if index == 0:

#是否可以装入

if w[index] <= last:

return
v[index]

else:

return 0

#寻找可以装入的分支
###without_1为左分支，龙城注
without_l = MaxVal1(w,
v, index - 1, last)

#如果当前的分支大于约束

#返回历史查找的最大值

if w[index] > last:
###左分支

return without_l
else:
###右分支

#当前分支加入背包，剪掉背包剩余重量，继续寻找

with_l = v[index] + MaxVal1(w, v , index - 1,
last - w[index])

#比较最大值
###左右分支选最大
return max(with_l ,
without_l)

#version 2
def MaxVal2(memo , w, v, index, last):

"""

得到最大价值

w为widght

v为value

index为索引

last为剩余重量
"""

global numCount

numCount = numCount + 1

try:

#以往是否计算过分支，如果计算过，直接返回分支的结果

return memo[(index , last)]

except:

#最底部

if index == 0:

#是否可以装入

if
w[index] <= last:

return v[index]

else:

return 0

#寻找可以装入的分支

without_l = MaxVal2(memo , w, v, index - 1,
last)

#如果当前的分支大于约束

#返回历史查找的最大值

if w[index] > last:

return
without_l

else:

#当前分支加入背包，剪掉背包剩余重量，继续寻找

with_l =
v[index] + MaxVal2(memo , w, v , index - 1, last - w[index])

#比较最大值

maxvalue = max(with_l , without_l)

#存储

memo[(index , last)] = maxvalue

return maxvalue

w = [5, 5, 1, 9 , 10 ,3, 8, 6, 4 , 2, 5, 5, 1, 9 , 10 ,3, 8,
6, 4 , 2]
v = [7, 7, 6, 5, 4, 8, 11, 4, 2, 3,7, 7, 6, 5, 4, 8, 11, 4, 2,
3]

print MaxVal1(w, v, len(w) - 1, 35) , "caculate count : ",
numCount

numCount = 0
memo = {}
print MaxVal2(memo , w, v, len(w) - 1, 35) , "caculate count :
", numCount

计算结果
[plain] view plaincopy
66 caculate count : 188174