level set method 水平集方法基本问题

版里搜了下，呵呵，发现level set method应该是从图像识别领域借过来的。基本思想： 令（n+1)维函数 t = phi(x(t)) 等于0，即水平集。

基本问题：

1 初始化

定义 level set 函数 phi(x) 为符号距离函数，界面线上距离为0。一般为隐函数。

1.1 符号判定， 界面闭合线内/外

1.1.1 2D留数算法： 将边界C离散成n段，c_1, c_2, .. c_n 为结点， oc_i 表示某点o 指向c_i的向量

sum ( atan(( oc_i x oc_(i+1)) / (oc_i . oc_(i+1))), i = 1: n)

if sum == 0 ---> 点o 在边界C外

if sum == 2 * pi ---> 点o在边界C内

1.1.2 交点判定算法: 给定已知符号的点P0, 待定符号的点Px 与 P0 之间连线穿过边界C，

如果穿过次数是偶数表示Px与P0符号相同；

如果是奇数，则符号相反。

实现：

将边界C离散成n段，初始定义所有网格点（2D面）符号为正（C外），当离散的边界线段，与某条垂向网格线相交，则将该网格线上，在边界线段上侧的点全部变负号。

1.2 距离计算

1.2.1 边界C可由参数方程表示，先搜索距离边界线最近的网格点，计算距离；

1.2.2 边界C分段连续，直接计算各个端点到网格点的距离

2 演化方程

2.1 边界线随时间的变化，采用PDE描述 phi(x(t), t) = 0

d phi(x)/ dt + grad_phi (a. n + b.t) = 0

其中n是法向单位向量，t是切向单位向量。a是法向速度，b是切向速度。n影响边界线拓扑。

<- - n = grad_ phi / norm( grad_phi)

--> d phi(x)/ dt = a norm(grad_phi) = 0

2.2 演化方程的数值解

演化方程具有 Hamilton-Jacobi形式， d phi /dt + H(grad_phi) = 0 。 这类方程不存在经典解，只有弱解。解C0连续但不保证C1连续，即使初值C1连续。守恒型双曲PDE也有类似的解性质。比如超声速压缩流动，给定连续的初状态值，仍然可能演化出不连续的间断激波。所以演化方程的高阶精度数值解可借鉴守恒型双曲方程的ENO， WENO等解方案。LSM演化方程实际上是就是一个包含源项的守恒型双曲方程。

常用一阶精度的演化方程常采用迎风格式，Godunov格式， Lax_Friedrich格式等。

2.2.1 2D Godunov格式

norm(grad_phi) ~= ( max(-D_{+x}，D_{-x}, 0) ^2 + max(-D_{+y}, D_{-y}, 0)^2 ) ^.5;

D_{+x} forward差分, D_{-x} backward差分。同理 D_{+y}, D_{-y}。 物理意义上要求保证信息必须从已知传向未知，所以对于每个当前要求的phi， 必须选择传播正方向上的差分格式。

一个简单的判断：当地(local) phi_x (i,j) 大于还是小于0. 如果 大于0，表示phi(i,j)沿x轴正方向传播，显然先要经过phi(i-1, j)，故应该选用 D_{-x}差分。而且此时还满足

abs( D_{-x}) > abs(D_{+x})， 所以才有统一的上式样子。同理，如果local phi_x(i,j) 小于0， 则表示 phi(i,j )沿x轴负方向传播，即先经过 phi(i+1, j)， 故采用 D_{+x}。同理y方向。

MATALB CODE here

2.2.2 ENO格式

参见 力学所李新亮老师CFD讲义， 激波平滑。

2.2 法向速度延扩

从边界线到全水平集面，任意垂直边界线的直线上速度恒定 --》 所以水平集面上任意一点的速度，可由两条垂直边界线的直线l1, l2唯一确定

2.3 边界设定

布置ghost point， 速度边界Ok, 位移边界可能出问题 -- > 重初始化(重新选择一个level set funtion)

假定周期边界 --》 保证单元边界符号连续

3 窄带level set method

只跟新距离边界线一定范围的网格点，远场点保持不变。节省计算/存储。

预告：下篇介绍 reinitialization in level set method