如何计算平面n个圆相交的公共部分的面积

REFERENCE:http://blog.csdn.net/happy__888/article/details/399467

原题参考 mmmcd 超超 在这个帖子当中的讨论

http://community.csdn.net/Expert/topic/4075/4075074.xml?temp=.4154627

N个任意圆相交求公共面积的问题

必须注意到如下

一：凸体和凸体相交依然是凸体，多元相交后也是凸体

二：多元相交结果，必然是由圆弧所组成，

三：最终的相交面积为各个子圆弧的弓形面积 + 内部凸多边形的面积

要解决这个问题，要解决下面几个问题：

第一个：圆弧的表达方法

Arc(圆心位置，半径，开始角度和结束角度，P1， P2)

p1，p2是两个交点的位置

交点表达：

P(x, y, c1, c2) : 必然是两个 圆交出来的

第二个： 建立同圆的圆弧相交算法

只有两个圆弧是同一个圆上的时候，才用此算法

算法运算的结果是生成一组圆弧，他们的圆心，半径相同，其他的参数不同

第三个： 任意两圆相交结果的圆弧表达方法

任意两个圆做相交判断，结果有三种：

相 交：得到组成相交结果的两个圆弧

不相交：得到两个空的圆弧

包 含：得到一个空圆弧，一个满圆弧

有了这三个算法，n个圆相交的解决方案如下

第一步：

n个圆两两执行相交计算，把结果用圆弧表示，执行结果是一个N×N的表格

执行次数是n*(n-1)/2, 每次运算填充表的两个位置

第一个圆 第二个 第三个 第四个 ..... 第n个

第一个圆 * arc12 arc13 arc14 ..... arc1n

第二个圆 arc21 * arc23 arc24 ..... arc2n

第三个圆 arc31 arc32 * arc24 ..... arc2n

第四个圆 arc41 arc42 arc23 * arc2n

........ ................................................

第n个圆 arcn1 arcn2 arcn3 arcn4 ..... *

在这个表格当中，每次运算填充的是arcij和arcji两个位置

比如,第3个和第4个圆相交，结果写入arc34和arc43

arc34是相交后的，第三个圆上的圆弧， arc43则是相交后的第四个圆上的圆弧

如果在执行这个运算过程当中

arcij 和 arcji都是空圆弧，那么证明圆i和圆j不相交，全体的交集必然是空，可以停止算法了

arcij 和 arcji一个空，一个满。那么空的圆可以抛弃当作不存在，因为他们之间是包含关系



第二步

对表的每行做同圆的圆弧的相交运算，得到的最终结果依然是多段圆弧

相交的结果，可能是空，但是依然是有效的答案

第三步，串连所有的圆弧

从第二步计算得到的结果当中，随意找到一个不空的圆弧，从中找到任意一个圆弧，开始串连

串连的方法：

总面积S为0， 串连点队列L为空

从表当中选择一个圆，这个圆的表内同圆圆弧相交计算后得到的圆弧数组不空，从这个数组当中任意取得一个圆弧，作为当前圆弧

while(1)

{

把当前圆弧的P1点加入串连顶点队列L当中

计算这个圆弧的弓形面积，加入总面积S当中

if ( 当前圆弧的P2点是顶点队列L的第一个点) {

是跳出循环，结束串连

}

根据P2（x，y，c1，c2）点，找到它和另外一个圆的交点对应的圆弧，并把该圆弧作为当前的圆弧， 继续循环

}

第四步, 计算面积

在执行完成第三步之后， 串连点队列L就是N个圆相交部分的凸多边形的顶点队列，计算它的面积加入到S当中就完成了任务