Dijkstra算法（单源最短路径）

Dijkstra算法（单源最短路径）

单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。



运行截图:



代码实现:

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;

const int N=100;
const int MAX_INT=999999;
typedef struct node{
int matrix

;
int n;//¶¨µãÊý
int e;//±ßÊý
}MGraph;

//path£º×îÖյõ½°üº¬n¸ö¶¥µãµÄ·¾¶£¬ÀýÈç:path[5]=7±íʾ5µÄÇ°Ò»¸öÕ¾µãÊÇ7¡£
//grap£º±íʾͼ£¬°üº¬¸÷¶Ëµã¼ä¾àÀ룬ºÍ¶ËµãÊý¡¢±ßÊý
//distance:×îÖյõ½´ÓÔ­µãµ½´ï¸ÄµãµÄ×Ü·³Ì£¬Èçdistance[5]=12,±íʾ´ÓÔ­µãµ½¶Ëµã5µÄ×Ü·³Ì12
//start£ºÔ­µã
void dijkstra(int* path,MGraph grap,int* distance,int start){
int i=0,j=0,k=0;
//±íʾ¸÷¶ËµãÊÇ·ñ±»·ÃÎÊ
bool* visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*grap.n);
path[start]=start;
distance[start]=0;

for(;i<grap.n;i++){
if(grap.matrix[start][i]>0&&i!=start){
distance[i]=grap.matrix[start][i];//³õʼΪԭµãºÍµ±Ç°µãÖ±½Ó¾àÀë
path[i]=start;//ÿ¸ö¶ËµãµÄÇ°Ò»¶Ëµã³õʼΪԭµã
}else{
distance[i]=MAX_INT;//ÈôÔ­µãºÍµ±Ç°µãÎÞÁ¬½Ó£¬³õʼΪÎÞÇî´ó¡£
path[i]=-1;//³õʼǰһ½ÚµãΪ¿Õ
}
visited[i]=false;//³õʼΪ¾ùû·ÃÎʹý
distance[start]=0;
}

visited[start]=true;
for(i=0;i<grap.n-1;i++){
int min = MAX_INT;
int u;
for(j=0;j<grap.n;j++){
//µÃµ½µ±Ç°Í¼ÖÐÒÑËã³öµÄÀëÔ­µã¼ä·³Ì£¬×î¶ÌµÄÄǸö¶Ëµã
if(!visited[j]&&distance[j]<min){
min=distance[j];
u=j;//½«Ëü×öΪÏÂÒ»¸öÒª±éÀúµÄ¶Ëµã
}
}

visited[u]=true;//°Ñµ±Ç°Òª±éÀúµÄ¶ËµãÉèÖÃΪÒÑ·ÃÎÊ

for(k=0;k<grap.n;k++){
//Èôµ±Ç°¶Ëµãµ½Ô­Â·³Ì+µ½ÆäËûÓëËüÁ¬½ÓµÄ¶Ëµã¾àÀë¡·ÆäËû¶Ëµãµ½Ô­µãµÄ·³Ì£¬Ôò¸üÐÂÆäËû¶Ëµã
if(!visited[k]&&grap.matrix[u][k]>0&&grap.matrix[u][k]+min<distance[k]){
distance[k]=grap.matrix[u][k]+min;
path[k]=u;//½«ÆäËû¶ËµãµÄÇ°Ò»¶ËµãÉèΪu
}
}
}
}

void show(int* path,int end,int start){
stack<int> stack;
while(start!=end){
stack.push(end);
end=path[end];
}
stack.push(start);

cout<<"¶Ëµã"<<end<<"µ½"<<end<<":";
while(!stack.empty()){
cout<<stack.top()<<" ";
stack.pop();
}

}
int main(){
int n,e;//±íʾÊäÈëµÄ¶¨µãÊýºÍ±ßÊý
int start;//Ô­µã
MGraph g;//ͼ
cout<<"ÇëÊäÈ붥µãÊýºÍ±ßÊýn e:";
cin>>n>>e;
int * dist=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
int * path=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
g.n=n;
g.e=e;
//³õʼ»¯¸÷µã¼ä¾àÀëΪ¿Õ¡£
int i,j;
for(i=0;i<g.n;i++)
for(j=0;j<g.n;j++)
g.matrix[i][j]=0;

int v1,v2,w;//¶¥µã,¾àÀë
for(i=0;i<e;i++){
cout<<"ÊäÈëÁ½¶¥µãºÍËûÃǵľàÀ룺";
cin>>v1>>v2>>w;
g.matrix[v1][v2]=w;
}
cout<<"ÊäÈëÔ­µã£º";
cin>>start;

dijkstra(path,g,dist,start);

for(i=0;i<n;i++){
if(i!=start){
show(path,i,start);
cout<<"×ܾàÀ룺"<<dist[i]<<endl;
}

}

return 0;
}