寻找500万以内的亲和数

今天看了个题，感觉碉堡了，特此记录

求解500万以内的亲和数

所谓亲和数，就是指a和b，其中a的所有真因数的和是b，b的所有真因数的和是a

例如

220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110

284的真因子是：1、2、4、71、142

而这两个数恰恰等于对方的真因子各自加起来的和（sum[i]表示数i 的各个真因子的和），即

220=1+2+4+71+142=sum[284],

284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。

得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。

OK，明白了亲和数，然后就一头雾水了。。。只会蛮力法的废柴。。。排除dp，二分等等，这里的关键就是要为每个数，都要计算出它的真因数的和

如果一直蛮力法去计算各个数的真因数的和，那效率就很低了

//求解亲和数问题

//第一个for和第二个for循环是logn（调和级数）*N次遍历,第三个for循环扫描O（N）。
//所以总的时间复杂度为 O（n*logn）+O（n）=O（N*logN）（其中logN为调和级数）。

//关于第一个for和第二个for寻找中，调和级数的说明：
//比如给2的倍数加2，那么应该是  n/2次，3的倍数加3 应该是 n/3次，...
//那么其实就是n*（1+1/2+1/3+1/4+...1/(n/2)）=n*（调和级数）=n*logn。

//copyright@ 上善若水
//July、updated，2011.05.24。
#include<stdio.h>

int sum[5000010];   //为防越界

int main()
{
int i, j;
for (i = 0; i <= 5000000; i++)
sum[i] = 1;  //1是所有数的真因数所以全部置1

for (i = 2; i + i <= 5000000; i++)  //预处理，预处理是logN（调和级数）*N。
//@litaoye：调和级数1/2 + 1/3 + 1/4......的和近似为ln(n)，
//因此O(n *(1/2 + 1/3 + 1/4......)) = O(n * ln(n)) = O(N*log(N))。
{
//5000000以下最大的真因数是不超过它的一半的
j = i + i;  //因为真因数，所以不能算本身，所以从它的2倍开始
while (j <= 5000000)
{
//将所有i的倍数的位置上加i
sum[j] += i;
j += i;
}
}

for (i = 220; i <= 5000000; i++)   //扫描，O（N）。
{
// 一次遍历，因为知道最小是220和284因此从220开始
if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)
{
//去重，不越界，满足亲和
printf("%d %d/n",i,sum[i]);
}
}
return 0;
}

好吧我想说这个算法碉堡

具体思路：

因为所有数的真因数都包含1，所以，先在各个数的下方全部置1

然后取i=2,3,4,5（i<=10/2），j依次对应的位置为j=（4、6、8、10），（6、9）,（8）,（10）各数所对应的位置。
依据j所找到的位置，在j所指的各个数的下面加上各个真因子i（i=2、3、4、5）。

整个过程，即如下图所示（如sum[6]=1+2+3=6，sum[10]=1+2+5=8.）：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3

4

5
然后一次遍历i从220开始到5000000，i每遍历一个数后，

将i对应的数下面的各个真因子加起来得到一个和sum[i]，如果这个和sum[i]==某个i’，且sum[i‘]=i，

那么这两个数i和i’，即为一对亲和数。
i=2；sum[4]+=2，sum[6]+=2，sum[8]+=2，sum[10]+=2，sum[12]+=2...

i=3，sum[6]+=3，sum[9]+=3...

......
i=220时，sum[220]=284，i=284时，sum[284]=220；即sum[220]=sum[sum[284]]=284，

得出220与284是一对亲和数。所以，最终输出220、284，...

orz

===================================Modified on 28th,April,2014========================

最近几个月，看了不少博客和书，发现之前参考的这个JULY这个人充其量是个搬运工，而且在搬运的时候都会自作聪明的不把这些知识来源著名出处，让人以为是他自己的，呵呵一下他，虽然资源整合也辛苦，但是，呵呵

就上面他对这个问题的描述就很不严谨，首先，我跑下来发现6和6也是一对亲和数，但是又看了别人的提示，亲和数是互不相等的两个数，而那个楼主的代码里面直接就写了因为知道最小是220和284因此从220开始

还有看这个博主之前的SVM的整理以及很多东西，其实现在看的书和博客更多更专业以后，发现他讲的，实在是，呵呵

贴一下自己实现的亲和数代码吧

PS要看，就要看专业的博客，这种半吊子，容易误导人

nums=[1]*5000000
size=5000000
def qinhe():
for i in range(2,5000000):
start = i*2-1;
while start<size:
nums[start]+=i
start+=i
for i in range(size):
a=nums[i]
if a>=size:
continue
if i+1 == nums[a-1] and a-1>i:
print(str(i+1)+" and "+str(a))

===================================Modified on 28th,April,2014========================