网络流之最大流算法（EdmondsKarp）

求网络流有很多算法，这几天学习了两种，记录一下EK算法。

首先是网络流中的一些定义：

V表示整个图中的所有结点的集合.

E表示整个图中所有边的集合.

G = (V,E) ,表示整个图.

s表示网络的源点,t表示网络的汇点.

对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0)，如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。相反，如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0.

对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).

一个简单的例子.网络可以被想象成一些输水的管道.括号内右边的数字表示管道的容量c,左边的数字表示这条管道的当前流量f.



网络流的三个性质：

1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v]

2、反对称性：f[u,v] = - f[v,u]

3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流量和。

只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.

最大流问题，就是求在满足网络流性质的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。

求一个网络流的最大流有很多算法 这里首先介绍 增广路算法（EK）

学习算法之前首先看了解这个算法中涉及到的几个图中的定义：

**残量网络

为了更方便算法的实现，一般根据原网络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量网络的容量。

r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)

通俗地讲：就是对于某一条边（也称弧），还能再有多少流量经过。

Gf 残量网络,Ef 表示残量网络的边集.



这是上面图的一个残量网络。残量网络（如果网络中一条边的容量为0,则认为这条边不在残量网络中。

r(s,v1)=0,所以就不画出来了。另外举个例子：r(v1,s) = c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.

其中像(v1,s)这样的边称为后向弧,它表示从v1到s还可以增加4单位的流量。

但是从v1到s不是和原网络中的弧的方向相反吗？显然“从v1到s还可以增加4单位流量”这条信息毫无意义。那么，有必要建立这些后向弧吗？

显然，第1个图中的画出来的不是一个最大流。

但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最大流。

注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。

如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。

**从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误的行为（让2单位的流从v1流到v2)

注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧与前向弧并无区别.

**增广路

增广路定义：在残量网络中的一条从s通往t的路径，其中任意一条弧(u,v)，都有r[u,v]>0。



如图绿色的即为一条增广路。

看了这么多概念相信大家对增广路算法已经有大概的思路了吧。

**增广路算法

增广路算法：每次用BFS找一条最短的增广路径，然后沿着这条路径修改流量值（实际修改的是残量网络的边权）。当没有增广路时，算法停止，此时的流就是最大流。

**增广路算法的效率

设n = |V|, m = |E|

每次增广都是一次BFS,效率为O(m),而在最坏的情况下需要（n-2增广。（即除源点和汇点外其他点都没有连通，所有点都只和s与t连通）

所以,总共的时间复杂度为O(m*n)，所以在稀疏图中效率还是比较高的。

hdoj 1532是一道可以作为模板题目练手。

模板代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 1100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Node
{
    int to;//终点
    int cap; //容量
    int rev;  //反向边
};

vector<Node> v
;
bool used
;

void add_Node(int from,int to,int cap)  //重边情况不影响
{
    v[from].push_back((Node){to,cap,v[to].size()});
    v[to].push_back((Node){from,0,v[from].size()-1});
}

int dfs(int s,int t,int f)
{
    if(s==t)
        return f;
    used[s]=true;
    for(int i=0;i<v[s].size();i++)
    {
        Node &tmp = v[s][i];  //注意
        if(used[tmp.to]==false && tmp.cap>0)
        {
            int d=dfs(tmp.to,t,min(f,tmp.cap));
            if(d>0)
            {
                tmp.cap-=d;
                v[tmp.to][tmp.rev].cap+=d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int max_flow(int s,int t)
{
    int flow=0;
    for(;;){
        memset(used,false,sizeof(used));
        int f=dfs(s,t,INF);
        if(f==0)
            return flow;
        flow+=f;
    }
}
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(v,0,sizeof(v));
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add_Node(x,y,z);
        }
        printf("%d\n",max_flow(1,m));
    }
}